MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeMonotonie și convexitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)(x_n) definit prin x1=a>0x_1 = a > 0 și xn+1=12(xn+2xn)x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{2}{x_n} \right) pentru n≥1n \geq 1. Demonstrați că șirul este convergent și determinați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Arătați că xn>0x_n > 0 pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N} și că xn≥2x_n \geq \sqrt{2} pentru n≥2n \geq 2, folosind inegalitatea dintre media aritmetică și geometrică.
23 puncte
Demonstrați că șirul (xn)(x_n) este descrescător pentru n≥2n \geq 2.
32 puncte
Aplicați teorema convergenței șirurilor monotone și mărginite pentru a deduce că șirul este convergent.
43 puncte
Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din relația de recurență, obțineți L=12(L+2L)L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{2}{L} \right) și rezolvați ecuația pentru a găsi L=2L = \sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.