MediuProcenteClasa 11

Problemă rezolvată de Procente

MediuProcenteMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un capital de CC lei este plasat timp de 3 ani cu dobândă compusă. În primul an, rata anuală a dobânzii este de p%p\%, în al doilea an de 2p%2p\%, iar în al treilea an de 3p%3p\%. După cei 3 ani, suma finală este de 85808580 lei, iar suma dobânzilor obținute este de 35803580 lei. Determinați capitalul inițial CC și procentul pp.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Calcularea capitalului inițial: C=8580−3580=5000C = 8580 - 3580 = 5000 lei.\n
22 puncte
Scrierea ecuației pentru suma finală: 8580=5000⋅(1+p100)⋅(1+2p100)⋅(1+3p100)8580 = 5000 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{2p}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{3p}{100}\right).\n
32 puncte
Notarea x=p100x = \frac{p}{100} și simplificarea: (1+x)(1+2x)(1+3x)=85805000=1.716\left(1+x\right)\left(1+2x\right)\left(1+3x\right) = \frac{8580}{5000} = 1.716.\n
42 puncte
Dezvoltarea produsului: 6x3+11x2+6x+1=1.716⇒6x3+11x2+6x−0.716=06x^3 + 11x^2 + 6x + 1 = 1.716 \Rightarrow 6x^3 + 11x^2 + 6x - 0.716 = 0.\n
51 punct
Observarea că x=0.1x=0.1 este soluție, deoarece 6⋅0.13+11⋅0.12+6⋅0.1−0.716=0.006+0.11+0.6−0.716=06\cdot0.1^3 + 11\cdot0.1^2 + 6\cdot0.1 - 0.716 = 0.006 + 0.11 + 0.6 - 0.716 = 0.\n
61 punct
Arătarea că funcția f(x)=6x3+11x2+6x−0.716f(x)=6x^3+11x^2+6x-0.716 are derivata f′(x)=18x2+22x+6>0f'(x)=18x^2+22x+6 > 0 pentru x>0x>0, deci este strict crescătoare și x=0.1x=0.1 este singura soluție pozitivă. Așadar, p=100x=10p = 100x = 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Procente

Ușor#1ProcenteMatematică aplicatăEcuații exponentiale
O bancă oferă un depozit cu dobândă compusă anuală de 5%. Un client depune 1000 u.m. pe o perioadă de nn ani. Dacă după nn ani suma acumulată este de 1276.28 u.m., determinați numărul de ani nn și calculați suma după încă 3 ani, presupunând că dobânda rămâne aceeași.
Ușor#2ProcenteMatematică aplicatăȘiruri de numere reale
O investiție inițială de 5000 de lei este plasată la o rată anuală de dobândă de 6%, compusă anual. Determinați suma acumulată după 5 ani și timpul necesar pentru ca investiția să se dubleze. Presupuneți că nu se fac alte depuneri sau retrageri.
Ușor#3ProcenteMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu o rată anuală de 5%5\%. Determinați suma disponibilă după 10 ani, dacă dobânda se capitalizează anual. În plus, dacă după 5 ani se retrag 20002000 de lei, calculați ce sumă va avea la finalul celor 10 ani.
Ușor#4ProcenteMatematică financiarăLogaritmi
Un investitor depune o sumă de 10.000 lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă cu o rată anuală de 5%. a) După câți ani suma inițială se va dubla? b) Ce sumă va avea investitorul după 10 ani?
Vezi toate problemele de Procente →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Procente cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.