MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateTrigonometrie
Să se determine o primitivă a funcției f(x)=e2xcos⁡3xf(x) = e^{2x} \cos 3x pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se scrie integrala ∫e2xcos⁡3x dx\int e^{2x} \cos 3x \, dx și se aplică integrarea prin părți, alegând u=e2xu = e^{2x} și dv=cos⁡3x dxdv = \cos 3x \, dx, obținând ∫e2xcos⁡3x dx=e2xsin⁡3x3−23∫e2xsin⁡3x dx\int e^{2x} \cos 3x \, dx = \frac{e^{2x} \sin 3x}{3} - \frac{2}{3} \int e^{2x} \sin 3x \, dx.
24 puncte
Se aplică din nou integrarea prin părți pentru ∫e2xsin⁡3x dx\int e^{2x} \sin 3x \, dx, cu u=e2xu = e^{2x} și dv=sin⁡3x dxdv = \sin 3x \, dx, rezultând ∫e2xsin⁡3x dx=−e2xcos⁡3x3+23∫e2xcos⁡3x dx\int e^{2x} \sin 3x \, dx = -\frac{e^{2x} \cos 3x}{3} + \frac{2}{3} \int e^{2x} \cos 3x \, dx. Se substituie în ecuația inițială și se obține ∫e2xcos⁡3x dx=e2x(2cos⁡3x+3sin⁡3x)13+C\int e^{2x} \cos 3x \, dx = \frac{e^{2x}(2 \cos 3x + 3 \sin 3x)}{13} + C.
32 puncte
Se verifică prin derivare că F′(x)=e2xcos⁡3xF'(x) = e^{2x} \cos 3x, unde F(x)=e2x(2cos⁡3x+3sin⁡3x)13+CF(x) = \frac{e^{2x}(2 \cos 3x + 3 \sin 3x)}{13} + C este primitiva cerută.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.