MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere RealeTrigonometrie
Să se determine o primitivă a funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+2xx4+4f(x) = \frac{x^3 + 2x}{x^4 + 4}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se factorizează numitorul: x4+4=(x2+2x+2)(x2−2x+2)x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2).
24 puncte
Se descompune în fracții simple: x3+2xx4+4=12(xx2+2x+2+xx2−2x+2)\frac{x^3 + 2x}{x^4 + 4} = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{x^2+2x+2} + \frac{x}{x^2-2x+2} \right).
33 puncte
Se integrează fiecare termen: ∫xx2+2x+2dx=12ln⁡(x2+2x+2)−arctan⁡(x+1)+C1\int \frac{x}{x^2+2x+2} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2+2x+2) - \arctan(x+1) + C_1 și ∫xx2−2x+2dx=12ln⁡(x2−2x+2)−arctan⁡(x−1)+C2\int \frac{x}{x^2-2x+2} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2-2x+2) - \arctan(x-1) + C_2, deci o primitivă este 14ln⁡(x4+4)−12[arctan⁡(x+1)+arctan⁡(x−1)]+C\frac{1}{4} \ln(x^4+4) - \frac{1}{2} [\arctan(x+1) + \arctan(x-1)] + C.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.