MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3. Determinați o primitivă FF a funcției ff astfel încât F(1)=0F(1) = 0. Apoi, calculați aria suprafeței plane mărginită de graficul funcției ff, axa Ox și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se determină primitiva generală a funcției ff: F(x)=∫(x2−4x+3)dx=x33−2x2+3x+CF(x) = \int (x^2 - 4x + 3) dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + C.
23 puncte
Se utilizează condiția F(1)=0F(1)=0 pentru a afla constanta CC: F(1)=13−2+3+C=43+C=0⇒C=−43F(1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 + C = \frac{4}{3} + C = 0 \Rightarrow C = -\frac{4}{3}, deci F(x)=x33−2x2+3x−43F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x - \frac{4}{3}.
33 puncte
Se calculează aria: A=∫02∣f(x)∣dxA = \int_0^2 |f(x)| dx. Se observă că f(x)=(x−1)(x−3)f(x) = (x-1)(x-3), pe intervalul [0,2][0,2], f(x)>0f(x) > 0 pentru x∈[0,1)x \in [0,1) și f(x)<0f(x) < 0 pentru x∈(1,2]x \in (1,2]. Aria A=∫01f(x)dx+∫12−f(x)dx=F(1)−F(0)+[−(F(2)−F(1))]A = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 -f(x) dx = F(1) - F(0) + [-(F(2) - F(1))]. Cu F(1)=0F(1)=0, F(0)=−43F(0) = -\frac{4}{3}, F(2)=83−8+6−43=−23F(2) = \frac{8}{3} - 8 + 6 - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}, se obține A=−(−43)−(−23)=43+23=2A = -(-\frac{4}{3}) - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.