MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Calculați aria regiunii delimitate de graficul funcției f(x)=x3−3x+2f(x) = x^3 - 3x + 2, axa OxOx și dreptele x=−1x = -1 și x=2x = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinăm semnul funcției pe intervalul [−1,2][-1,2]. Rezolvăm f(x)=0f(x)=0: x3−3x+2=0x^3 - 3x + 2 = 0. Observăm că x=1x=1 este rădăcină; prin împărțire, x3−3x+2=(x−1)2(x+2)x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2 (x+2). Rădăcinile sunt x=1x=1 (dublă) și x=−2x=-2, dar x=−2∉[−1,2]x=-2 \notin [-1,2]. Pe [−1,2][-1,2], f(x)≥0f(x) \geq 0 cu f(x)=0f(x)=0 doar la x=1x=1.
22 puncte
Aria este A=∫−12f(x)dxA = \int_{-1}^{2} f(x) dx, deoarece f(x)≥0f(x) \geq 0.
33 puncte
Găsim o primitivă a lui f(x)f(x): F(x)=∫(x3−3x+2)dx=x44−3x22+2x+CF(x) = \int (x^3 - 3x + 2) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x + C.
43 puncte
Calculăm A=F(2)−F(−1)=(164−122+4)−(14−32−2)=(4−6+4)−(14−32−2)=2−(14−3.5)=2−(−3.25)=5.25A = F(2) - F(-1) = \left( \frac{16}{4} - \frac{12}{2} + 4 \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} - 2 \right) = (4 - 6 + 4) - \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} - 2 \right) = 2 - \left( \frac{1}{4} - 3.5 \right) = 2 - (-3.25) = 5.25. Deci aria este 5.255.25 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.