MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveEcuații exponentiale
Să se determine primitiva FF a funcției f(x)=e2xsin⁡(3x)f(x) = e^{2x} \sin(3x) care verifică F(0)=1F(0)=1. Apoi, rezolvați ecuația F(x)=0F(x) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
15 puncte
Pentru calculul primitivei, folosiți integrarea prin părți de două ori. Notăm I=∫e2xsin⁡(3x)dxI = \int e^{2x} \sin(3x) dx. Alegem u=e2xu = e^{2x}, dv=sin⁡(3x)dxdv = \sin(3x) dx, apoi aplicăm din nou integrarea prin părți. După calcule, se obține I=e2x13(2sin⁡(3x)−3cos⁡(3x))+CI = \frac{e^{2x}}{13}(2\sin(3x) - 3\cos(3x)) + C.
23 puncte
Din F(0)=1F(0)=1, avem e013(2sin⁡(0)−3cos⁡(0))+C=1⇒113(0−3)+C=1⇒C=1+313=1613\frac{e^{0}}{13}(2\sin(0) - 3\cos(0)) + C = 1 \Rightarrow \frac{1}{13}(0 - 3) + C = 1 \Rightarrow C = 1 + \frac{3}{13} = \frac{16}{13}. Deci F(x)=e2x13(2sin⁡(3x)−3cos⁡(3x))+1613F(x) = \frac{e^{2x}}{13}(2\sin(3x) - 3\cos(3x)) + \frac{16}{13}.
32 puncte
Ecuația F(x)=0F(x)=0 devine e2x13(2sin⁡(3x)−3cos⁡(3x))+1613=0⇒e2x(2sin⁡(3x)−3cos⁡(3x))=−16\frac{e^{2x}}{13}(2\sin(3x) - 3\cos(3x)) + \frac{16}{13} = 0 \Rightarrow e^{2x}(2\sin(3x) - 3\cos(3x)) = -16. Se observă că ∣2sin⁡(3x)−3cos⁡(3x)∣≤13|2\sin(3x) - 3\cos(3x)| \leq \sqrt{13}, deci e2x≥1613e^{2x} \geq \frac{16}{\sqrt{13}} pentru ca ecuația să aibă soluție. Prin studierea semnului funcției h(x)=e2x(2sin⁡(3x)−3cos⁡(3x))+16h(x) = e^{2x}(2\sin(3x) - 3\cos(3x)) + 16, se poate arăta că există cel puțin o soluție reală, de exemplu, pentru xx astfel încât 2sin⁡(3x)−3cos⁡(3x)=−132\sin(3x) - 3\cos(3x) = -\sqrt{13} și e2x=1613e^{2x} = \frac{16}{\sqrt{13}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.