MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere RealeTrigonometrie
Fie FF o primitivă a funcției f(x)=1x2+4x+5f(x) = \frac{1}{x^2 + 4x + 5}. Dacă F(0)=π4F(0) = \frac{\pi}{4}, determinați F(x)F(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Completați pătratul pentru numitor: x2+4x+5=(x+2)2+1x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1.
23 puncte
Calculați primitiva generală folosind formula ∫1a2+u2du=1aarctan⁡(ua)+C\int \frac{1}{a^2 + u^2} du = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C. Aici, u=x+2u = x+2 și a=1a=1, deci ∫1x2+4x+5dx=arctan⁡(x+2)+C\int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} dx = \arctan(x+2) + C.
33 puncte
Aplicați condiția F(0)=π4F(0) = \frac{\pi}{4}: arctan⁡(0+2)+C=π4\arctan(0+2) + C = \frac{\pi}{4}, adică arctan⁡(2)+C=π4\arctan(2) + C = \frac{\pi}{4}. Rezolvați pentru CC: C=π4−arctan⁡(2)C = \frac{\pi}{4} - \arctan(2).
42 puncte
Scrieți primitiva specifică: F(x)=arctan⁡(x+2)+π4−arctan⁡(2)F(x) = \arctan(x+2) + \frac{\pi}{4} - \arctan(2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.