MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1x−1f(x) = \frac{2x+1}{x-1}. Determinați o primitivă FF a funcției ff astfel încât F(0)=1F(0) = 1. Apoi, calculați aria regiunii delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=2x=2 și x=3x=3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Se determină primitiva generală a funcției ff. Se observă că f(x)=2x+1x−1=2+3x−1f(x) = \frac{2x+1}{x-1} = 2 + \frac{3}{x-1}, deci o primitivă este F(x)=2x+3ln⁡∣x−1∣+CF(x) = 2x + 3 \ln |x-1| + C.
22 puncte
Se folosește condiția F(0)=1F(0)=1: 2⋅0+3ln⁡∣0−1∣+C=1⇒3ln⁡1+C=1⇒C=12\cdot0 + 3 \ln |0-1| + C = 1 \Rightarrow 3 \ln 1 + C = 1 \Rightarrow C = 1, deci F(x)=2x+3ln⁡∣x−1∣+1F(x) = 2x + 3 \ln |x-1| + 1.
32 puncte
Aria se calculează cu integrala definită ∫23∣f(x)∣dx\int_2^3 |f(x)| dx. Pe intervalul [2,3][2,3], f(x)>0f(x) > 0, deci aria este ∫23f(x)dx\int_2^3 f(x) dx.
42 puncte
∫23f(x)dx=F(3)−F(2)=(2⋅3+3ln⁡2+1)−(2⋅2+3ln⁡1+1)=6+3ln⁡2+1−4−0−1=2+3ln⁡2\int_2^3 f(x) dx = F(3) - F(2) = (2\cdot3 + 3 \ln 2 + 1) - (2\cdot2 + 3 \ln 1 + 1) = 6 + 3 \ln 2 + 1 - 4 - 0 - 1 = 2 + 3 \ln 2. Aria este 2+3ln⁡22 + 3 \ln 2 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.