MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1x2+1f(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}. a) Să se determine o primitivă FF a lui ff astfel încât F(0)=1F(0) = 1. b) Să se calculeze aria suprafeței plane mărginite de graficul lui ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Descompunem f(x)=2xx2+1+1x2+1f(x) = \frac{2x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1}. O primitivă generală este F(x)=ln⁡(x2+1)+arctan⁡(x)+CF(x) = \ln(x^2+1) + \arctan(x) + C.
23 puncte
Din condiția F(0)=1F(0)=1, obținem ln⁡(1)+arctan⁡(0)+C=1\ln(1) + \arctan(0) + C = 1, deci C=1C=1. Astfel, F(x)=ln⁡(x2+1)+arctan⁡(x)+1F(x) = \ln(x^2+1) + \arctan(x) + 1.
33 puncte
Aria cerută este ∫01f(x)dx=F(1)−F(0)=(ln⁡(2)+arctan⁡(1)+1)−1=ln⁡(2)+π4\int_0^1 f(x) dx = F(1) - F(0) = (\ln(2) + \arctan(1) + 1) - 1 = \ln(2) + \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.