MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere RealeLogaritmi
Determinați primitiva funcției f(x)=2x+3x2+4x+5f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 5} care trece prin punctul (0,1)(0, 1).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Completați pătratul pentru numitor: x2+4x+5=(x+2)2+1x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1.
24 puncte
Scrieți integrala ca ∫2x+3(x+2)2+1dx\int \frac{2x+3}{(x+2)^2+1} dx și despărțiți-o în două integrale: ∫2(x+2)(x+2)2+1dx−∫1(x+2)2+1dx\int \frac{2(x+2)}{(x+2)^2+1} dx - \int \frac{1}{(x+2)^2+1} dx.
32 puncte
Integrați: prima integrală dă ln⁡((x+2)2+1)\ln((x+2)^2+1), a doua dă arctan⁡(x+2)\arctan(x+2), deci primitiva este F(x)=ln⁡(x2+4x+5)−arctan⁡(x+2)+CF(x) = \ln(x^2+4x+5) - \arctan(x+2) + C.
41 punct
Folosiți condiția F(0)=1F(0)=1 pentru a găsi CC: 1=ln⁡(5)−arctan⁡(2)+C1 = \ln(5) - \arctan(2) + C, deci C=1−ln⁡(5)+arctan⁡(2)C = 1 - \ln(5) + \arctan(2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.