MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2x−1x2−2x+1f(x) = \frac{2x-1}{x^2 - 2x + 1}. Să se determine o primitivă a lui ff pe intervalul (1,∞)(1, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se observă că numitorul este pătrat perfect: x2−2x+1=(x−1)2x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2.\n
23 puncte
Se rescrie numărătorul: 2x−1=2(x−1)+12x-1 = 2(x-1) + 1 și se descompune fracția: 2x−1(x−1)2=2x−1+1(x−1)2\frac{2x-1}{(x-1)^2} = \frac{2}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}.\n
33 puncte
Se calculează primitivele: ∫2x−1dx=2ln⁡∣x−1∣\int \frac{2}{x-1} dx = 2 \ln|x-1| și ∫1(x−1)2dx=−1x−1\int \frac{1}{(x-1)^2} dx = -\frac{1}{x-1}.\n
42 puncte
Se scrie primitiva generală: F(x)=2ln⁡∣x−1∣−1x−1+CF(x) = 2 \ln|x-1| - \frac{1}{x-1} + C, iar pe (1,∞)(1, \infty), ∣x−1∣=x−1|x-1| = x-1, deci F(x)=2ln⁡(x−1)−1x−1+CF(x) = 2 \ln(x-1) - \frac{1}{x-1} + C.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.