MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteDerivate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x. Să se determine o primitivă FF a funcției ff astfel încât F(0)=0F(0) = 0. Să se calculeze ∫0πf(x)dx\int_0^{\pi} f(x) dx folosind primitiva găsită și să se arate că FF este mărginită pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Se găsește o primitivă a lui f(x)f(x) prin integrare prin părți. Se consideră u=sin⁡xu = \sin x, dv=e−xdxdv = e^{-x} dx, deci du=cos⁡xdxdu = \cos x dx, v=−e−xv = -e^{-x}. Atunci ∫e−xsin⁡xdx=−e−xsin⁡x+∫e−xcos⁡xdx\int e^{-x} \sin x dx = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x dx. Pentru ∫e−xcos⁡xdx\int e^{-x} \cos x dx, se integrează din nou prin părți cu u=cos⁡xu = \cos x, dv=e−xdxdv = e^{-x} dx, obținând ∫e−xcos⁡xdx=−e−xcos⁡x−∫e−xsin⁡xdx\int e^{-x} \cos x dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x dx. Înlocuind, se obține ∫e−xsin⁡xdx=−e−xsin⁡x−e−xcos⁡x−∫e−xsin⁡xdx\int e^{-x} \sin x dx = -e^{-x} \sin x - e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x dx, deci 2∫e−xsin⁡xdx=−e−x(sin⁡x+cos⁡x)2\int e^{-x} \sin x dx = -e^{-x} (\sin x + \cos x). Astfel, ∫e−xsin⁡xdx=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)+C\int e^{-x} \sin x dx = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C. Deci F(x)=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)+CF(x) = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C.
22 puncte
Folosind condiția F(0)=0F(0)=0, se determină CC: F(0)=−12e0(sin⁡0+cos⁡0)+C=−12(0+1)+C=−12+C=0⇒C=12F(0) = -\frac{1}{2} e^{0} (\sin 0 + \cos 0) + C = -\frac{1}{2} (0+1) + C = -\frac{1}{2} + C = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2}. Prin urmare, F(x)=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)+12F(x) = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + \frac{1}{2}.
32 puncte
Se calculează ∫0πf(x)dx=F(π)−F(0)=(−12e−π(sin⁡π+cos⁡π)+12)−12=−12e−π(0−1)+12−12=12e−π\int_0^{\pi} f(x) dx = F(\pi) - F(0) = \left( -\frac{1}{2} e^{-\pi} (\sin \pi + \cos \pi) + \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} e^{-\pi} (0 - 1) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} e^{-\pi}.
42 puncte
Pentru a arăta că FF este mărginită, se observă că ∣F(x)−12∣=12e−x∣sin⁡x+cos⁡x∣≤12e−x⋅2=e−x|F(x) - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2} e^{-x} |\sin x + \cos x| \leq \frac{1}{2} e^{-x} \cdot 2 = e^{-x}, deoarece ∣sin⁡x+cos⁡x∣≤2<2|\sin x + \cos x| \leq \sqrt{2} < 2. Cum e−x→0e^{-x} \to 0 când x→∞x \to \infty și este mărginită pentru xx finit, rezultă că F(x)F(x) este mărginită pe R\mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.