MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volume
Fie funcția f(x)=xe−xf(x) = x e^{-x}. a) Să se determine o primitivă a lui ff. b) Utilizând această primitivă, calculați aria suprafeței cuprinse între graficul lui ff, axa Ox și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru partea a), se aplică integrarea prin părți: ∫xe−x dx\int x e^{-x} \, dx. Se notează u=xu=x, dv=e−xdxdv=e^{-x}dx, deci du=dxdu=dx, v=−e−xv=-e^{-x}. Atunci ∫xe−x dx=−xe−x−∫−e−xdx=−xe−x+∫e−xdx=−xe−x−e−x+C=−e−x(x+1)+C\int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - \int -e^{-x} dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -e^{-x}(x+1) + C.
23 puncte
Pentru partea b), aria este ∫02xe−x dx\int_0^2 x e^{-x} \, dx. Folosind primitiva găsită, ∫02xe−x dx=[−e−x(x+1)]02\int_0^2 x e^{-x} \, dx = \left[ -e^{-x}(x+1) \right]_0^2.
33 puncte
Se calculează: (−e−2(2+1))−(−e0(0+1))=−3e−2+1=1−3e2\left( -e^{-2}(2+1) \right) - \left( -e^{0}(0+1) \right) = -3e^{-2} + 1 = 1 - \frac{3}{e^2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.