MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveLogaritmiDerivate
Calculați o primitivă a funcției f(x)=ex(1−ln⁡(ex+1))ex+1f(x) = \frac{e^x (1 - \ln(e^x + 1))}{e^x + 1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că se poate face substituția u=ex+1u = e^x + 1, cu du=exdxdu = e^x dx. Integrala devine ∫1−ln⁡uudu\int \frac{1 - \ln u}{u} du.
24 puncte
Se descompune integrala: ∫1−ln⁡uudu=∫1udu−∫ln⁡uudu\int \frac{1 - \ln u}{u} du = \int \frac{1}{u} du - \int \frac{\ln u}{u} du. Se calculează ∫1udu=ln⁡∣u∣\int \frac{1}{u} du = \ln |u| și pentru ∫ln⁡uudu\int \frac{\ln u}{u} du se face substituția v=ln⁡uv = \ln u, dv=1ududv = \frac{1}{u} du, obținând ∫vdv=v22=(ln⁡u)22\int v dv = \frac{v^2}{2} = \frac{(\ln u)^2}{2}.
33 puncte
Deci, primitiva este ln⁡(ex+1)−(ln⁡(ex+1))22+C\ln(e^x + 1) - \frac{(\ln(e^x + 1))^2}{2} + C. Se poate verifica prin derivare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.