MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. Să se determine o primitivă F(x)F(x) a lui f(x)f(x) care verifică F(0)=1F(0) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
15 puncte
Se aplică integrarea prin părți de două ori, notând I=∫e2xsin⁡x dxI = \int e^{2x} \sin x \, dx. Prima integrare dă I=−e2xcos⁡x+2∫e2xcos⁡x dxI = -e^{2x} \cos x + 2\int e^{2x} \cos x \, dx. A doua integrare conduce la I=−e2xcos⁡x+2(e2xsin⁡x−2∫e2xsin⁡x dx)I = -e^{2x} \cos x + 2\left(e^{2x} \sin x - 2\int e^{2x} \sin x \, dx\right), de unde se obține I=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5+CI = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5} + C.\n
23 puncte
Se scrie F(x)=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5+CF(x) = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5} + C și se impune condiția F(0)=1F(0)=1, adică e0(2⋅0−1)5+C=1\frac{e^{0}(2\cdot0 - 1)}{5} + C = 1, rezultând C=65C = \frac{6}{5}.\n
32 puncte
Se exprimă primitiva particulară: F(x)=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5+65F(x) = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5} + \frac{6}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.