MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveLogaritmiEcuații logaritmice
Fie FF o primitivă a funcției f(x)=1xln⁡xf(x) = \frac{1}{x \ln x} pe intervalul (0,1)(0,1). Știind că F(e−1)=0F(e^{-1}) = 0, determinați expresia lui F(x)F(x) și rezolvați ecuația F(x)=1F(x) = 1 pentru x∈(0,1)x \in (0,1).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aflarea unei primitive a lui f(x)f(x): se face substituția u=ln⁡xu = \ln x, deci F(x)=ln⁡∣ln⁡x∣+CF(x) = \ln |\ln x| + C, unde CC este constantă.
23 puncte
Determinarea constantei CC folosind condiția F(e−1)=0F(e^{-1}) = 0: ln⁡∣ln⁡e−1∣+C=ln⁡1+C=0\ln |\ln e^{-1}| + C = \ln 1 + C = 0, deci C=0C=0 și F(x)=ln⁡∣ln⁡x∣F(x) = \ln |\ln x|.
33 puncte
Rezolvarea ecuației F(x)=1F(x) = 1: ln⁡∣ln⁡x∣=1⇒∣ln⁡x∣=e⇒ln⁡x=−e\ln |\ln x| = 1 \Rightarrow |\ln x| = e \Rightarrow \ln x = -e (deoarece x∈(0,1)x \in (0,1), deci ln⁡x<0\ln x < 0), astfel x=e−ex = e^{-e}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.