MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e2xsin⁡xf(x)= e^{2x} \sin x. Determinați o primitivă FF a funcției ff care verifică F(0)=1F(0)=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
16 puncte
Calculăm primitiva generală a lui ff. Folosim integrarea prin părți de două ori. Notăm I=∫e2xsin⁡x dxI = \int e^{2x} \sin x \, dx. Alegem u=sin⁡xu = \sin x, dv=e2xdxdv = e^{2x} dx, deci du=cos⁡x dxdu = \cos x \, dx, v=12e2xv = \frac{1}{2} e^{2x}. Obținem I=12e2xsin⁡x−12∫e2xcos⁡x dxI = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x \, dx. Pentru ∫e2xcos⁡x dx\int e^{2x} \cos x \, dx, alegem din nou u=cos⁡xu = \cos x, dv=e2xdxdv = e^{2x} dx, deci du=−sin⁡x dxdu = -\sin x \, dx, v=12e2xv = \frac{1}{2} e^{2x}. Atunci ∫e2xcos⁡x dx=12e2xcos⁡x+12∫e2xsin⁡x dx=12e2xcos⁡x+12I\int e^{2x} \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} I. Înlocuind: I=12e2xsin⁡x−12(12e2xcos⁡x+12I)=12e2xsin⁡x−14e2xcos⁡x−14II = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} I \right) = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x - \frac{1}{4} I. Aducem termenii: I+14I=12e2xsin⁡x−14e2xcos⁡xI + \frac{1}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x, deci 54I=12e2xsin⁡x−14e2xcos⁡x\frac{5}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x, de unde I=45(12e2xsin⁡x−14e2xcos⁡x)=25e2xsin⁡x−15e2xcos⁡x+CI = \frac{4}{5} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x \right) = \frac{2}{5} e^{2x} \sin x - \frac{1}{5} e^{2x} \cos x + C. Astfel, F(x)=e2x5(2sin⁡x−cos⁡x)+CF(x) = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x) + C.
24 puncte
Din F(0)=1F(0)=1 avem e05(2sin⁡0−cos⁡0)+C=1⇒15(0−1)+C=1⇒−15+C=1⇒C=65\frac{e^{0}}{5} (2 \sin 0 - \cos 0) + C = 1 \Rightarrow \frac{1}{5}(0-1) + C = 1 \Rightarrow -\frac{1}{5} + C = 1 \Rightarrow C = \frac{6}{5}. Deci F(x)=e2x5(2sin⁡x−cos⁡x)+65F(x) = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x) + \frac{6}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.