MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteFuncția de gradul al II-lea
Fie funcția f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2. Determinați o primitivă FF a lui ff astfel încât F(1)=0F(1) = 0. Calculați apoi aria regiunii mărginite de graficul lui ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aflăm o primitivă generală: F(x)=∫f(x)dx=∫(x2−3x+2)dx=x33−3x22+2x+CF(x) = \int f(x) dx = \int (x^2 - 3x + 2) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x + C. |
23 puncte
Determinăm constanta CC din condiția F(1)=0F(1)=0: 13−32+2+C=0⇒C=−56\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 + C = 0 \Rightarrow C = -\frac{5}{6}, deci F(x)=x33−3x22+2x−56F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x - \frac{5}{6}. |
34 puncte
Calculăm aria: Regiunea este mărginită de ff, care are rădăcinile x=1x=1 și x=2x=2. Aria A=∫01f(x)dx+∫12(−f(x))dx=F(1)−F(0)+[−F(2)+F(1)]A = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 (-f(x)) dx = F(1) - F(0) + [ -F(2) + F(1) ]. Avem F(1)=0F(1)=0, F(0)=−56F(0) = -\frac{5}{6}, F(2)=83−6+4−56=−16F(2) = \frac{8}{3} - 6 + 4 - \frac{5}{6} = -\frac{1}{6}. Atunci A=−(−56)−(−16)=56+16=1A = -(-\frac{5}{6}) - (-\frac{1}{6}) = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.