MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=exe2x+4f(x) = \frac{e^x}{e^{2x}+4}. a) Determinați o primitivă FF a funcției ff. b) Calculați aria suprafeței mărginite de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x=0 și x=ln⁡2x=\ln 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se observă că f(x)=exe2x+4f(x) = \frac{e^x}{e^{2x}+4}. Se face substituția t=ext = e^x, deci dt=exdxdt = e^x dx. Atunci ∫f(x)dx=∫1t2+4dt=12arctan⁡(t2)+C=12arctan⁡(ex2)+C\int f(x) dx = \int \frac{1}{t^2+4} dt = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{t}{2}\right) + C = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{e^x}{2}\right) + C.
23 puncte
Aria este dată de ∫0ln⁡2f(x)dx=F(ln⁡2)−F(0)\int_{0}^{\ln 2} f(x) dx = F(\ln 2) - F(0), unde FF este o primitivă.
33 puncte
Calculul: F(ln⁡2)=12arctan⁡(eln⁡22)=12arctan⁡(1)=12⋅π4=π8F(\ln 2) = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{e^{\ln 2}}{2}\right) = \frac{1}{2} \arctan(1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}, F(0)=12arctan⁡(12)F(0) = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{1}{2}\right), deci aria este π8−12arctan⁡(12)\frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{1}{2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.