MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteDerivate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. Calculați o primitivă a funcției ff și apoi determinați ∫0πf(x) dx\int_0^{\pi} f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se aplică integrarea prin părți de două ori. Notăm I=∫e2xsin⁡x dxI = \int e^{2x} \sin x \, dx și integrăm prin părți cu u=sin⁡xu = \sin x, dv=e2xdxdv = e^{2x} dx, obținând I=12e2xsin⁡x−12∫e2xcos⁡x dxI = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x \, dx. Apoi, se integrează prin părți a doua oară pentru ∫e2xcos⁡x dx\int e^{2x} \cos x \, dx, rezultând o ecuație în II: I=12e2xsin⁡x−14e2xcos⁡x+14II = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x + \frac{1}{4} I. \
23 puncte
Se rezolvă ecuația I−14I=12e2xsin⁡x−14e2xcos⁡xI - \frac{1}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x, deci 34I=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)4\frac{3}{4} I = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{4}, astfel I=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5+CI = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5} + C, unde CC este constantă. O primitivă este F(x)=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5F(x) = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5}. \
33 puncte
Se calculează integrala definită: ∫0πf(x) dx=F(π)−F(0)=e2π(2sin⁡π−cos⁡π)5−e0(2sin⁡0−cos⁡0)5=e2π(0−(−1))5−1(0−1)5=e2π5+15=1+e2π5\int_0^{\pi} f(x) \, dx = F(\pi) - F(0) = \frac{e^{2\pi}(2\sin \pi - \cos \pi)}{5} - \frac{e^{0}(2\sin 0 - \cos 0)}{5} = \frac{e^{2\pi}(0 - (-1))}{5} - \frac{1(0 - 1)}{5} = \frac{e^{2\pi}}{5} + \frac{1}{5} = \frac{1 + e^{2\pi}}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.