MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un mobil se deplasează pe axa Ox cu viteza dată de v(t)=t2−4t+3v(t) = t^2 - 4t + 3 (m/s), unde tt este timpul în secunde. Să se determine legea de mișcare x(t)x(t), știind că la momentul t=0t=0, mobilul se află la originea axei. Apoi, să se calculeze distanța parcursă de mobil în intervalul de timp [0,4][0,4].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Legea de mișcare se obține prin integrarea vitezei: x(t)=∫v(t) dt=∫(t2−4t+3) dt=t33−2t2+3t+Cx(t) = \int v(t) \, dt = \int (t^2 - 4t + 3) \, dt = \frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t + C. Din condiția x(0)=0x(0)=0, rezultă C=0C=0, deci x(t)=t33−2t2+3tx(t) = \frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t.
23 puncte
Pentru a calcula distanța parcursă, analizăm semnul vitezei. Rezolvăm v(t)=0v(t)=0, adică t2−4t+3=0t^2 - 4t + 3=0, cu soluțiile t=1t=1 și t=3t=3. Pe [0,1][0,1], v(t)>0v(t)>0; pe [1,3][1,3], v(t)<0v(t)<0; pe [3,4][3,4], v(t)>0v(t)>0.
33 puncte
Distanța parcursă este D=∫01v(t) dt+∫13(−v(t)) dt+∫34v(t) dtD = \int_{0}^{1} v(t) \, dt + \int_{1}^{3} (-v(t)) \, dt + \int_{3}^{4} v(t) \, dt. Calculăm: ∫01(t2−4t+3)dt=[t33−2t2+3t]01=13−2+3=43\int_{0}^{1} (t^2-4t+3) dt = [\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3}, ∫13(−t2+4t−3)dt=[−t33+2t2−3t]13=43\int_{1}^{3} (-t^2+4t-3) dt = [-\frac{t^3}{3} + 2t^2 - 3t]_{1}^{3} = \frac{4}{3}, ∫34(t2−4t+3)dt=[t33−2t2+3t]34=43\int_{3}^{4} (t^2-4t+3) dt = [\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t]_{3}^{4} = \frac{4}{3}. Deci D=43+43+43=4D = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4 metri.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.