MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volumeLogaritmi
Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției f(x)=ln⁡(x+1)f(x) = \ln(x+1), axa Ox și dreptele de ecuații x=0x=0 și x=e−1x=e-1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Stabilim că funcția ln⁡(x+1)\ln(x+1) este definită pentru x>−1x > -1 și pe intervalul [0,e−1][0, e-1] este pozitivă, deci aria se poate calcula cu o integrală definită.
24 puncte
Scriem aria ca A=∫0e−1ln⁡(x+1)dxA = \int_0^{e-1} \ln(x+1) dx.
34 puncte
Aplicăm integrarea prin părți: alegem u=ln⁡(x+1)u = \ln(x+1), dv=dxdv = dx, deci du=1x+1dxdu = \frac{1}{x+1} dx, v=xv = x. Atunci A=[xln⁡(x+1)]0e−1−∫0e−1xx+1dxA = [x \ln(x+1)]_0^{e-1} - \int_0^{e-1} \frac{x}{x+1} dx. Calculăm: pentru x=e−1x=e-1, ln⁡(e)=1\ln(e) = 1, deci (e−1)⋅1=e−1 (e-1) \cdot 1 = e-1. Integrala rămasă devine ∫0e−1(1−1x+1)dx=[x−ln⁡(x+1)]0e−1=(e−1−ln⁡(e))−(0−ln⁡(1))=e−1−1=e−2\int_0^{e-1} (1 - \frac{1}{x+1}) dx = [x - \ln(x+1)]_0^{e-1} = (e-1 - \ln(e)) - (0 - \ln(1)) = e-1 - 1 = e-2. Astfel, A=(e−1)−(e−2)=1A = (e-1) - (e-2) = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.