MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateLogaritmi
Fie funcția f(x)=aex+bln⁡xf(x) = a e^{x} + b \ln x, cu x>0x > 0. Să se determine constantele reale aa și bb știind că există o primitivă FF a lui ff astfel încât F(1)=2F(1) = 2 și F′(1)=3F'(1) = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Determinarea unei primitive a lui ff: F(x)=aex+b(xln⁡x−x)+CF(x) = a e^{x} + b (x \ln x - x) + C. Pentru simplitate, considerăm C=0C=0.
23 puncte
Aplicarea condiției F(1)=2F(1)=2: ae1+b(1⋅ln⁡1−1)=2⇒ae−b=2a e^{1} + b (1 \cdot \ln 1 - 1) = 2 \Rightarrow a e - b = 2.
33 puncte
Aplicarea condiției F′(1)=3F'(1)=3: F′(x)=aex+bln⁡xF'(x) = a e^{x} + b \ln x, deci F′(1)=ae+b⋅0=ae=3⇒a=3eF'(1) = a e + b \cdot 0 = a e = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{e}. Înlocuind în ecuația din step 2: 3e⋅e−b=2⇒3−b=2⇒b=1\frac{3}{e} \cdot e - b = 2 \Rightarrow 3 - b = 2 \Rightarrow b = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.