Probleme de nivel mediu de Derivate

Clasa a 11-a • 84 probleme de nivel mediu

Ușor (79)Greu (15)Toate
Mediu#1DerivatePolinoame
Calculați limita lim⁡x→1x+x2+⋯+xn−nx−1\lim_{x\to 1} \frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Observați că pentru x→1x\to 1 rezultă forma 0/00/0.;
24 puncte
Rescrieți numărătorul ca ∑k=1n(xk−1)\sum_{k=1}^n (x^k-1) și folosiți factorizarea xk−1=(x−1)(1+x+⋯+xk−1)x^k-1=(x-1)(1+x+\dots+x^{k-1}) astfel încât fracția devine suma termenilor 1+x+⋯+xk−11+x+\dots+x^{k-1}.;
34 puncte
Trecând la limită, fiecare sumă tinde la kk, deci limita este ∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^n k=\dfrac{n(n+1)}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2DerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→9x−13−2x−9\lim_{x\to 9} \frac{\sqrt[3]{x-1}-2}{x-9}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se pune u=x−13u=\sqrt[3]{x-1}, astfel x−9=u3−8=(u−2)(u2+2u+4)x-9=u^3-8=(u-2)(u^2+2u+4) și se obține x−13−2x−9=u−2(u−2)(u2+2u+4)=1u2+2u+4\frac{\sqrt[3]{x-1}-2}{x-9}=\frac{u-2}{(u-2)(u^2+2u+4)}=\frac{1}{u^2+2u+4}.
25 puncte
Se ia limita când x→9x\to 9, deci u→2u\to 2, rezultă lim⁡x→9x−13−2x−9=122+2⋅2+4=112\lim_{x\to9}\frac{\sqrt[3]{x-1}-2}{x-9}=\frac{1}{2^2+2\cdot2+4}=\frac{1}{12}.
32 puncte
Răspuns final: 112\frac{1}{12}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3DerivateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→01+x−1−x1+x3−1−x3\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Observați că pentru x→0x\to0 expresia are forma 0/00/0.
24 puncte
Folosiți dezvoltarea de ordinul I: (1+u)α=1+αu+o(u)(1+u)^{\alpha}=1+\alpha u+o(u) când u→0u\to0. Astfel 1±x=1±x2+o(x)\sqrt{1\pm x}=1\pm\tfrac{x}{2}+o(x) și 1±x3=1±x3+o(x)\sqrt[3]{1\pm x}=1\pm\tfrac{x}{3}+o(x). Din aceasta numărătorul este x+o(x)x+o(x), iar numitorul este 2x3+o(x)\tfrac{2x}{3}+o(x).
34 puncte
Concluzie: lim⁡x→0x+o(x)2x3+o(x)=12/3=32\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x+o(x)}{\tfrac{2x}{3}+o(x)}=\frac{1}{2/3}=\frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4DerivateAlgebră și Calcule cu Numere RealeDomeniul de definiție al funcțiilor
Simplificați expresia pentru f(x)f(x) și apoi determinați f′(x)f'(x) dacă f(x)=(x−2x+2+x−2+x−2x2−4−x+2)−2(x−12(x+1)+1)×2x+1f(x)=\left(\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}+\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4-x+2}}\right)^{-2}\left(\frac{x-1}{2(\sqrt{x}+1)}+1\right)\times\frac{2}{\sqrt{x}+1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Simplificați factorul din dreapta: (x−12(x+1)+1)×2x+1=2(x−12(x+1)+1)x+1=x−1x+1+2x+1=x−1+2(x+1)(x+1)2=x+1+2x(x+1)2=1\left(\frac{x-1}{2(\sqrt{x}+1)}+1\right)\times\frac{2}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\left(\frac{x-1}{2(\sqrt{x}+1)}+1\right)}{\sqrt{x}+1}=\frac{\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}+2}{\sqrt{x}+1}=\frac{x-1+2(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)^2}=\frac{x+1+2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^2}=1.
23 puncte
Simplificați a doua fracție din paranteză: x−2x2−4−x+2=x−2(x−2)(x+1)=x−2x+1\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4-x+2}}=\frac{x-2}{\sqrt{(x-2)(x+1)}}=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}} (pentru x≥2x\ge 2). Prin urmare, definim A(x)=x−2x+2+x−2+x−2x+1A(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}+\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}} și rezultă f(x)=A(x)−2f(x)=A(x)^{-2}.
33 puncte
Calculați derivata folosind regula lanțului: f′(x)=−2A(x)−3A′(x)f'(x)=-2A(x)^{-3}A'(x), unde A′(x)=12x−2(1x+2+x−2+1x+1)+x−2(−12x+2+12x−2(x+2+x−2)2−12(x+1)3/2)A'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}\left(\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)+\sqrt{x-2}\left(-\frac{\tfrac{1}{2\sqrt{x+2}}+\tfrac{1}{2\sqrt{x-2}}}{(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2})^2}-\frac{1}{2(x+1)^{3/2}}\right). Astfel se obține expresia completă a lui f′(x)f'(x) prin înlocuirea în f′(x)=−2A−3A′f'(x)=-2A^{-3}A'.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5DerivateTrigonometrie
Arătați că 2f′(x+π/3)⋅f′(x−π/6)=f′(0)−f(2x+π/6)2 f'(x+\pi/3)\cdot f'(x-\pi/6)=f'(0)-f(2x+\pi/6), unde f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați f′(x)f'(x) pentru f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x (obțineți f′(x)=−sin⁡xf'(x)=-\sin x).
24 puncte
Calculați produsul 2f′(x+π/3)⋅f′(x−π/6)2 f'(x+\pi/3)\cdot f'(x-\pi/6) și aplicați identitatea trigonometrica 2sin⁡asin⁡b=cos⁡(a−b)−cos⁡(a+b)2\sin a\sin b=\cos(a-b)-\cos(a+b) pentru a=x+π/3a=x+\pi/3, b=x−π/6b=x-\pi/6.
33 puncte
Evaluați f′(0)f'(0) și observați că rezultatul coincide cu f′(0)−f(2x+π/6)f'(0)-f(2x+\pi/6), concluzionând egalitatea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6DerivateTrigonometrie
Pentru ce valori ale lui x are f'(x) = g'(x) dacă f(x) = sin⁡4(3x)\sin^4(3x) și g(x) = sin⁡(6x)\sin(6x)?
Mediu#7DerivateTrigonometrie
Pentru ce valori ale lui x are f'(x) = g'(x) dacă f(x) = sin⁡2(2x)\sin^2(2x) și g(x) = 4cos⁡(2x)−5sin⁡(4x)4\cos(2x) - 5\sin(4x)?
Mediu#8DerivateTrigonometrieAplicații ale derivatelor
Pentru ce valori ale lui xx are f′(x)=g′(x)f'(x) = g'(x) dacă f(x)=4xcos⁡2(x/2)f(x) = 4x \cos^2(x/2) și g(x)=8cos⁡(x/2)−3−2xsin⁡xg(x) = 8 \cos(x/2) - 3 - 2x \sin x?
Mediu#9DerivateTrigonometrieAplicații ale derivatelor
Determinați pentru ce valori ale lui x derivata f′(x)f'(x) este egală cu zero dacă f(x)=1−sin⁡(π+x)+2cos⁡(3π+x2)f(x)=1-\sin(\pi+x)+2\cos\left(\frac{3\pi+x}{2}\right).
Mediu#10DerivateTrigonometrieAplicații ale derivatelor
Determinați pentru ce valori ale lui x derivata f′(x)f'(x) este egală cu zero dacă f(x)=sin⁡(3x)−3cos⁡(3x)+3(cos⁡x−3sin⁡x)f(x)=\sin(3x)-\sqrt{3}\cos(3x)+3(\cos x-\sqrt{3}\sin x).
Mediu#11DerivateTrigonometrie
Determinați pentru ce valori ale lui x derivata f'(x) este egală cu zero dacă f(x) = 20cos⁡(3x)+12cos⁡(5x)−15cos⁡(4x)20\cos(3x) + 12\cos(5x) - 15\cos(4x).
Mediu#12DerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea f′(x)≤g′(x)f'(x) \le g'(x) dacă f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} și g(x)=x−x3g(x) = x - x^3.
Mediu#13DerivateLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea f′(x)>g′(x)f'(x) > g'(x) pentru valorile xx din domeniul comun dacă f(x)=x+ln⁡(x−5)f(x) = x + \ln(x - 5) și g(x)=ln⁡(x−1)g(x) = \ln(x - 1).
Mediu#14DerivateEcuații exponentialeLogaritmi
Rezolvați inegalitatea f′(x)>g′(x)f'(x) > g'(x) dacă f(x)=52x+1/2f(x) = 5^{2x + 1/2} și g(x)=5x+4xln⁡5g(x) = 5^x + 4x \ln 5.
Mediu#15DerivatePrimitive
Găsiți toate funcțiile f(x)f(x) care satisfac ecuația f2(x)+4f′(x)⋅f(x)+[f′(x)]2=0f^2(x) + 4 f'(x) \cdot f(x) + [f'(x)]^2 = 0.

Și alte 69 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Accesează toate cele 84 probleme de Derivate cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.