Probleme ușoare de Derivate

Clasa a 11-a • 79 probleme de nivel ușor

Mediu (84)Greu (15)Toate
Ușor#1DerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→0(4+x)3−64x.\lim_{x\to 0} \frac{(4+x)^3 - 64}{x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
16 puncte
Extindeți (4+x)3(4+x)^3 folosind formula binomială: (4+x)3=64+48x+48x2+x3(4+x)^3=64+48x+48x^2+x^3.
24 puncte
Împărțiți şi determinaţi limita: (4+x)3−64x=48+48x+x2→48\frac{(4+x)^3-64}{x}=48+48x+x^2\to 48.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2DerivatePolinoame
Calculați limita: lim⁡x→0(1+x)(1+2x)(1+3x)−1x.\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)(1+2x)(1+3x) - 1}{x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
16 puncte
Calculați produsul (1+x)(1+2x)(1+3x)(1+x)(1+2x)(1+3x): (1+x)(1+2x)=1+3x+2x2(1+x)(1+2x)=1+3x+2x^2, apoi (1+3x+2x2)(1+3x)=1+6x+11x2+6x3(1+3x+2x^2)(1+3x)=1+6x+11x^2+6x^3.
24 puncte
Împărțiți şi determinaţi limita: (1+x)(1+2x)(1+3x)−1x=6+11x+6x2→6\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}=6+11x+6x^2\to 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3DerivateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−3x+2x5−4x+3\lim_{x\to1} \frac{x^4 - 3x + 2}{x^5 - 4x + 3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că prin substituție directă obținem forma indeterminată 0/00/0.;
24 puncte
Aplicăm regula lui l'Hôpital: derivăm numărătorul și numitorul. Numărător: 4x3−34x^3-3. Numitor: 5x4−45x^4-4.;
33 puncte
Evaluăm la x=1x=1: 4⋅13−35⋅14−4=11=1\frac{4\cdot1^3-3}{5\cdot1^4-4}=\frac{1}{1}=1. Concluzie: limita este 11.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4DerivateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−1x−1\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Observăm forma de indeterminare 0/00/0 la x=1x=1.
26 puncte
Aplicăm regula lui l'Hospital (derivabile în jurul lui 11): derivata numărătorului este 13x−2/3\dfrac{1}{3}x^{-2/3}, iar derivata numitorului este 12x−1/2\dfrac{1}{2}x^{-1/2}, deci limita este 13⋅1−2/312⋅1−1/2=1/31/2=23\dfrac{\tfrac{1}{3}\cdot1^{-2/3}}{\tfrac{1}{2}\cdot1^{-1/2}}=\dfrac{1/3}{1/2}=\dfrac{2}{3}.
32 puncte
Concluzie: limita este 23\dfrac{2}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5DerivateTrigonometrie
Fie f(x)=sin⁡2(2x)f(x)=\sin^2(2x). Calculați 12⋅f′(x)cos⁡2x\frac{1}{2}\cdot\frac{f'(x)}{\cos 2x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
16 puncte
Calculați derivata folosind regula lanțului: f′(x)=2sin⁡(2x)⋅cos⁡(2x)⋅(2)=4sin⁡(2x)cos⁡(2x)f'(x)=2\sin(2x)\cdot\cos(2x)\cdot(2)=4\sin(2x)\cos(2x).
24 puncte
Simplificați expresia: 12⋅f′(x)cos⁡2x=12⋅4sin⁡(2x)cos⁡(2x)cos⁡2x=2sin⁡(2x)\frac{1}{2}\cdot\frac{f'(x)}{\cos 2x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sin(2x)\cos(2x)}{\cos 2x}=2\sin(2x).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6DerivateTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați f′(x)+f(x)+2f'(x) + f(x) + 2 dacă f(x)=x⋅sin⁡2xf(x)=x\cdot\sin 2x.
Ușor#7DerivatePolinoame
Arătați următoarea identitate: f′(1)+f′(−1)=−4f(0)f'(1)+f'(-1)=-4f(0) dacă f(x)=x5+x3−2x−3.f(x)=x^5+x^3-2x-3.
Ușor#8DerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că f′(x)−2xf(x)+13f(0)−f′(0)=1f'(x)-2x f(x)+\tfrac{1}{3}f(0)-f'(0)=1 dacă f(x)=3ex2f(x)=3e^{x^2}.
Ușor#9DerivateLogaritmi
Arătați că f′(x)+f(x)+f(1/x)−1/x=0f'(x)+f(x)+f(1/x)-1/x=0 dacă f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x.
Ușor#10DerivateTrigonometrie
Rezolvați ecuația [(φ(x))]′+φ(x)=0[(\varphi(x))]'+\varphi(x)=0 pentru φ(x)=cos⁡x\varphi(x)=\cos x.
Ușor#11DerivateFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea f′(x)>g′(x)f'(x) > g'(x) dacă f(x)=2x3−x2+3f(x) = 2x^3 - x^2 + \sqrt{3} și g(x)=x3+x22−3g(x) = x^3 + \frac{x^2}{2} - \sqrt{3}.
Ușor#12DerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați derivata funcției y=(x+1)(x+2)2y = (x + 1)(x + 2)^2.
Ușor#13Derivate
Determinați derivata funcției y=1/x+2/x2+3/x3y = 1/x + 2/x^2 + 3/x^3.
Ușor#14DerivateDomeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați derivata funcției y=2x1−x2y=\frac{2x}{1-x^2}.
Ușor#15DerivateStudiul funcțiilor
Determinați derivata funcției y=ex(x2−2x+2)y=e^x(x^2-2x+2).

Și alte 64 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Accesează toate cele 79 probleme de Derivate cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.