Probleme de nivel mediu de Funcția de gradul I

Clasa a 9-a • 20 probleme de nivel mediu

Ușor (82)Toate
Mediu#1Funcția de gradul IGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Liniare
Fie funcțiile f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(m−1)x+nf(x) = (m-1)x + n și g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=(2−m)x+pg(x) = (2-m)x + p, unde m,n,p∈Rm, n, p \in \mathbb{R}. Determinați m,n,pm, n, p astfel încât graficul lui ff să fie paralel cu dreapta y=3x−1y = 3x - 1, graficul lui gg să treacă prin punctul A(−1,4)A(-1,4), iar punctul de intersecție al graficelor lui ff și gg să aibă abscisa egală cu ordonata.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Condiția de paralelism: panta lui ff este m−1m-1, iar panta dreptei y=3x−1y=3x-1 este 3, deci m−1=3⇒m=4m-1 = 3 \Rightarrow m=4.
22 puncte
Graficul lui gg trece prin A(−1,4)A(-1,4): g(−1)=4⇒(2−4)(−1)+p=4⇒(−2)(−1)+p=4⇒2+p=4⇒p=2g(-1)=4 \Rightarrow (2-4)(-1) + p = 4 \Rightarrow (-2)(-1) + p = 4 \Rightarrow 2 + p = 4 \Rightarrow p=2.
33 puncte
Punctul de intersecție: rezolvăm f(x)=g(x)f(x)=g(x). Cu m=4m=4, f(x)=3x+nf(x)=3x+n și g(x)=−2x+2g(x)=-2x+2. Atunci 3x+n=−2x+2⇒5x=2−n⇒x=2−n53x+n = -2x+2 \Rightarrow 5x = 2-n \Rightarrow x = \frac{2-n}{5}. Ordonata este y=3⋅2−n5+n=6+2n5y=3 \cdot \frac{2-n}{5} + n = \frac{6+2n}{5}. Condiția: 2−n5=6+2n5⇒2−n=6+2n⇒−4=3n⇒n=−43\frac{2-n}{5} = \frac{6+2n}{5} \Rightarrow 2-n = 6+2n \Rightarrow -4=3n \Rightarrow n=-\frac{4}{3}.
42 puncte
Verificare: cu m=4m=4, n=−43n=-\frac{4}{3}, p=2p=2, funcțiile sunt f(x)=3x−43f(x)=3x - \frac{4}{3} și g(x)=−2x+2g(x)=-2x+2. Punctul de intersecție are coordonatele (23,23)\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right), deci abscisa egală cu ordonata.
51 punct
Concluzie: m=4m=4, n=−43n=-\frac{4}{3}, p=2p=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Funcția de gradul IGeometrie Analitică
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax+bf(x) = ax + b. Știind că graficul funcției trece prin punctul P(2,3)P(2,3) și că aria triunghiului determinat de graficul funcției, axa OxOx și axa OyOy este egală cu 4, determinați aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din f(2)=3f(2)=3, obținem 2a+b=32a + b = 3.
24 puncte
Determinăm interceptările: cu axa OxOx, f(x)=0⇒x=−baf(x)=0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a} (presupunând a≠0a \neq 0); cu axa OyOy, f(0)=bf(0)=b. Aria triunghiului este ∣−ba⋅b∣2=∣b2∣2∣a∣=4\frac{ | -\frac{b}{a} \cdot b | }{2} = \frac{|b^2|}{2|a|} = 4.
33 puncte
Din 2a+b=32a+b=3, exprimăm b=3−2ab=3-2a și substituim în ecuația ariei: (3−2a)22∣a∣=4\frac{(3-2a)^2}{2|a|} = 4. Rezolvând pentru a>0a>0 și a<0a<0, obținem soluțiile a=12a=\frac{1}{2}, b=2b=2 și a=92a=\frac{9}{2}, b=−6b=-6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Funcția de gradul ISisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax+bf(x) = ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Considerăm sistemul de ecuații: {f(1)x+y=2x+f(2)y=3\begin{cases} f(1)x + y = 2 \\ x + f(2)y = 3 \end{cases} Determinați aa și bb astfel încât sistemul să admită o infinitate de soluții. Pentru valorile găsite, rezolvați sistemul.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm f(1)=a+bf(1) = a + b și f(2)=2a+bf(2) = 2a + b. Sistemul devine: {(a+b)x+y=2x+(2a+b)y=3\begin{cases} (a+b)x + y = 2 \\ x + (2a+b)y = 3 \end{cases}.
24 puncte
Condiția pentru infinitate de soluții este ca determinantul matricei coeficienților să fie zero și termenii liberi să fie proporționali. Avem a+b1=12a+b=23\frac{a+b}{1} = \frac{1}{2a+b} = \frac{2}{3}. Din aceasta, obținem a+b=23a+b = \frac{2}{3} și 2a+b=322a+b = \frac{3}{2}.
33 puncte
Rezolvăm sistemul a+b=23a+b = \frac{2}{3} și 2a+b=322a+b = \frac{3}{2}. Scădem prima ecuație din a doua: a=32−23=96−46=56a = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{5}{6}, apoi b=23−56=46−56=−16b = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} = \frac{4}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{1}{6}. Sistemul are infinitate de soluții; de exemplu, din prima ecuație, y=2−23xy = 2 - \frac{2}{3}x, cu x∈Rx \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Funcția de gradul ISisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {2x+3y=a4x−y=b\begin{cases} 2x + 3y = a \\ 4x - y = b \end{cases}, unde aa și bb sunt numere reale. Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=cx+df(x) = cx + d. Dacă soluția sistemului este (x0,y0)(x_0, y_0) astfel încât f(x0)=y0f(x_0) = y_0 și funcția ff trece prin punctul (1,2)(1,2), determinați coeficienții cc și dd în funcție de aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Rezolvarea sistemului pentru a exprima x0x_0 și y0y_0: x0=a+3b14x_0 = \frac{a + 3b}{14}, y0=4a−2b14y_0 = \frac{4a - 2b}{14}.
23 puncte
Aplicarea condiției f(x0)=y0f(x_0) = y_0: c⋅a+3b14+d=4a−2b14c \cdot \frac{a + 3b}{14} + d = \frac{4a - 2b}{14}.
32 puncte
Utilizarea condiției f(1)=2f(1)=2: c+d=2c + d = 2.
42 puncte
Rezolvarea sistemului de ecuații obținut din pașii 2 și 3 pentru a găsi c=4a−2b−14a+3b−14c = \frac{4a - 2b - 14}{a + 3b - 14} și d=2−cd = 2 - c (sau forme echivalente după simplificări).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Funcția de gradul IGeometrie Analitică
În planul cartezian, se consideră dreapta d:y=mx+nd: y = mx + n, unde m,n∈Rm, n \in \mathbb{R}. Dacă dreapta dd trece prin punctul A(1,2)A(1,2) și distanța de la originea O(0,0)O(0,0) la dd este 2\sqrt{2}, determinați mm și nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din condiția că A(1,2)A(1,2) aparține dreptei dd, avem 2=m⋅1+n2 = m \cdot 1 + n, deci n=2−mn = 2 - m.
24 puncte
Distanța de la punctul O(0,0)O(0,0) la dreapta y=mx+ny = mx + n este dată de formula ∣n∣m2+1\frac{|n|}{\sqrt{m^2 + 1}}. Punem condiția ∣n∣m2+1=2\frac{|n|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}.
33 puncte
Înlocuim n=2−mn = 2 - m în ecuația distanței: ∣2−m∣m2+1=2\frac{|2 - m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}. Ridicăm la pătrat: (2−m)2=2(m2+1)(2 - m)^2 = 2(m^2 + 1). Dezvoltăm: 4−4m+m2=2m2+24 - 4m + m^2 = 2m^2 + 2, deci m2+4m−2=0m^2 + 4m - 2 = 0. Rezolvăm ecuația de gradul al II-lea: m=−4±16+82=−4±242=−4±262=−2±6m = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}. Atunci n=2−m=2−(−2±6)=4∓6n = 2 - m = 2 - (-2 \pm \sqrt{6}) = 4 \mp \sqrt{6}. Soluțiile sunt perechile (m,n)=(−2+6,4−6)(m, n) = (-2 + \sqrt{6}, 4 - \sqrt{6}) și (m,n)=(−2−6,4+6)(m, n) = (-2 - \sqrt{6}, 4 + \sqrt{6}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Funcția de gradul ISisteme de Ecuații Liniare
Se consideră funcțiile f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax+bf(x) = ax + b și g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=cx+dg(x) = cx + d, cu a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}. Sistemul de ecuații este dat de: {f(x)+2g(y)=53f(y)−g(x)=1\begin{cases} f(x) + 2g(y) = 5 \\ 3f(y) - g(x) = 1 \end{cases}. a) Demonstrați că sistemul are soluție unică dacă și numai dacă ac≠6ac \neq 6. b) Pentru a=2a=2 și c=3c=3, determinați bb și dd astfel încât soluția sistemului să satisfacă x=yx=y.
Mediu#7Funcția de gradul IGeometrie Analitică
În planul cartezian, se dau dreptele d1:y=m1x+n1d_1: y = m_1 x + n_1 și d2:y=m2x+n2d_2: y = m_2 x + n_2, unde m1,n1,m2,n2∈Rm_1, n_1, m_2, n_2 \in \mathbb{R}. Fie AA punctul de intersecție al dreptelor d1d_1 și d2d_2. a) Determinați coordonatele punctului AA în funcție de coeficienții m1,n1,m2,n2m_1, n_1, m_2, n_2. b) Găsiți condițiile necesare și suficiente asupra coeficienților astfel încât punctul AA să se afle pe bisectoarea unghiurilor format de axele de coordonate (adică pe dreapta y=xy=x sau y=−xy=-x). Analizați ambele cazuri.
Mediu#8Funcția de gradul IGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcțiile f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(m−1)x+2f(x) = (m-1)x + 2 și g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=3x−ng(x) = 3x - n, unde m,n∈Rm, n \in \mathbb{R}. Determinați valorile reale ale lui mm și nn pentru care graficele funcțiilor sunt paralele și distanța dintre ele este 10\sqrt{10}. Apoi, pentru aceste valori, calculați coordonatele punctului de intersecție al graficului lui ff cu axa OxOx.
Mediu#9Funcția de gradul IGeometrie Analitică
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1. Determinați coordonatele punctului de pe graficul funcției ff care este cel mai apropiat de punctul A(3,4)A(3, 4).
Mediu#10Funcția de gradul IMatematică aplicatăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O companie produce un produs cu un cost fix de 500 de lei și un cost variabil de 20 de lei per unitate. Funcția costului total este C(x)=20x+500C(x) = 20x + 500, unde xx este numărul de unități produse. Dacă prețul de vânzare per unitate este p(x)=60−0.5xp(x) = 60 - 0.5x (în lei), determinați intervalul de valori pentru xx astfel încât compania să obțină profit, și calculați profitul maxim posibil.
Mediu#11Funcția de gradul IAlgebră și Calcule cu Numere RealeGeometrie Analitică
Se consideră funcția de gradul I f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=mx+nf(x) = mx + n. Știind că f(f(x))=4x−3f(f(x)) = 4x - 3 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, determinați mm și nn. Apoi, aflați ecuația dreptei care este simetrica graficului lui ff față de dreapta y=xy = x.
Mediu#12Funcția de gradul IGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcțiile liniare f(x)=ax+bf(x) = ax + b și g(x)=cx+dg(x) = cx + d. Știind că graficele lor sunt perpendiculare, că se intersectează în punctul (2,3)(2,3), și că aria triunghiului determinat de graficele funcțiilor și axa Oy este egală cu 5, determinați coeficienții reali a,b,c,da, b, c, d.
Mediu#13Funcția de gradul IMatematică aplicatăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Cererea și oferta pentru un produs sunt date de funcțiile liniare C(p)=a−bpC(p) = a - bp și O(p)=c+dpO(p) = c + dp, unde pp este prețul, iar a,b,c,d>0a,b,c,d > 0 sunt constante. Se cunosc valorile: la prețul p=10p=10, cererea este 8080 și oferta este 5050; la prețul p=20p=20, cererea este 6060 și oferta este 8080. Determinați funcțiile C(p)C(p) și O(p)O(p), apoi calculați prețul de echilibru, surplusul consumatorului și surplusul producătorului la echilibru.
Mediu#14Funcția de gradul IGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În planul cartezian, se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(3,4)B(3,4) și C(5,k)C(5, k). Determinați valoarea lui kk astfel încât aria triunghiului ABCABC să fie egală cu 5. Apoi, scrieți ecuația dreptei care trece prin punctul AA și este perpendiculară pe BCBC.
Mediu#15Funcția de gradul IGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcțiile f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(m−1)x+3f(x) = (m-1)x + 3 și g(x)=2x+ng(x) = 2x + n. Aflați valorile reale ale lui mm și nn pentru care graficele funcțiilor sunt drepte paralele și distanța dintre ele este 5\sqrt{5}.

Și alte 5 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul I cu AI

Accesează toate cele 20 probleme de Funcția de gradul I cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.