Probleme de nivel mediu de Identități algebrice

Clasa a 9-a • 60 probleme de nivel mediu

Ușor (38)Greu (2)Toate
Mediu#1Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Utilizând formula pentru suma cuburilor, avem sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x). Știind că sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1, obținem identitatea cerută.
22 puncte
În ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1, substituim identitatea: (sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)=1(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) = 1.
32 puncte
Notăm t=sin⁡x+cos⁡xt = \sin x + \cos x. Atunci sin⁡xcos⁡x=t2−12\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}. Ecuația devine t(1−t2−12)=1t \left(1 - \frac{t^2 - 1}{2}\right) = 1.
42 puncte
Simplificăm: t(3−t22)=1⇒t(3−t2)=2⇒t3−3t+2=0t \left(\frac{3 - t^2}{2}\right) = 1 \Rightarrow t(3 - t^2) = 2 \Rightarrow t^3 - 3t + 2 = 0.
52 puncte
Rezolvăm t3−3t+2=0t^3 - 3t + 2 = 0: factorizăm (t−1)2(t+2)=0(t-1)^2(t+2)=0, deci t=1t=1 sau t=−2t=-2. t=−2t=-2 nu este posibil deoarece ∣sin⁡x+cos⁡x∣≤2|\sin x + \cos x| \leq \sqrt{2}. Pentru t=1t=1, avem sin⁡x+cos⁡x=1⇒2sin⁡(x+π4)=1⇒x+π4=π4+2kπ\sin x + \cos x = 1 \Rightarrow \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 \Rightarrow x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi sau x+π4=3π4+2kπx + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi. În [0,2π][0, 2\pi], soluțiile sunt x=0x=0, x=π2x=\frac{\pi}{2}, x=2πx=2\pi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Identități algebriceNumere Complexe
Pentru orice numere complexe z1,z2,z3z_1, z_2, z_3, demonstrați identitatea: ∣z1+z2+z3∣2=∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2+2ℜ(z1zˉ2+z2zˉ3+z3zˉ1)|z_1+z_2+z_3|^2 = |z_1|^2+|z_2|^2+|z_3|^2+2\Re(z_1\bar{z}_2+z_2\bar{z}_3+z_3\bar{z}_1).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se scrie ∣z∣2=zzˉ|z|^2 = z \bar{z} pentru fiecare termen.
23 puncte
Se calculează ∣z1+z2+z3∣2=(z1+z2+z3)(zˉ1+zˉ2+zˉ3)|z_1+z_2+z_3|^2 = (z_1+z_2+z_3)(\bar{z}_1+\bar{z}_2+\bar{z}_3) și se dezvoltă produsul.
33 puncte
Se obține ∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2+z1zˉ2+z1zˉ3+z2zˉ1+z2zˉ3+z3zˉ1+z3zˉ2|z_1|^2+|z_2|^2+|z_3|^2 + z_1\bar{z}_2+z_1\bar{z}_3+z_2\bar{z}_1+z_2\bar{z}_3+z_3\bar{z}_1+z_3\bar{z}_2.
42 puncte
Se folosește că zwˉ+zˉw=2ℜ(zwˉ)z\bar{w}+\bar{z}w=2\Re(z\bar{w}) pentru perechile (z1,z2)(z_1,z_2), (z2,z3)(z_2,z_3), (z3,z1)(z_3,z_1), rezultând termenul 2ℜ(z1zˉ2+z2zˉ3+z3zˉ1)2\Re(z_1\bar{z}_2+z_2\bar{z}_3+z_3\bar{z}_1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Identități algebricePolinoame
Fie P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c un polinom de gradul al doilea cu a≠0a \neq 0. Dacă x1x_1 și x2x_2 sunt rădăcinile sale (reale sau complexe), demonstrați identitățile: i) x12+x22=b2−2aca2x_1^2+x_2^2 = \frac{b^2-2ac}{a^2}, ii) x13+x23=3abc−b3a3x_1^3+x_2^3 = \frac{3abc-b^3}{a^3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se scriu relațiile lui Viète: x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac{b}{a} și x1x2=cax_1x_2=\frac{c}{a}.
23 puncte
Pentru i, se folosește identitatea x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 și se înlocuiesc relațiile lui Viète, obținând x12+x22=b2a2−2ca=b2−2aca2x_1^2+x_2^2=\frac{b^2}{a^2}-2\frac{c}{a}=\frac{b^2-2ac}{a^2}.
33 puncte
Pentru ii, se folosește identitatea x13+x23=(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) și se înlocuiesc relațiile lui Viète, obținând x13+x23=−b3a3−3ca(−ba)=−b3+3abca3=3abc−b3a3x_1^3+x_2^3=-\frac{b^3}{a^3}-3\frac{c}{a}\left(-\frac{b}{a}\right)=\frac{-b^3+3abc}{a^3}=\frac{3abc-b^3}{a^3}.
42 puncte
Se concluzionează că identitățile sunt demonstrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Identități algebriceSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul de ecuații: {x+y+z=6x2+y2+z2=14x3+y3+z3=36\begin{cases} x+y+z=6 \\ x^2+y^2+z^2=14 \\ x^3+y^3+z^3=36 \end{cases} pentru x,y,z∈Rx,y,z \in \mathbb{R}, folosind identități algebrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aplicăm identitatea (x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx). Din x+y+z=6x+y+z=6 și x2+y2+z2=14x^2+y^2+z^2=14, obținem 36=14+2(xy+yz+zx)36 = 14 + 2(xy+yz+zx), deci xy+yz+zx=11xy+yz+zx = 11.
23 puncte
Folosim identitatea x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-zx). Înlocuind valorile, 36−3xyz=6(14−11)=6×3=1836 - 3xyz = 6(14 - 11) = 6 \times 3 = 18, deci 3xyz=183xyz = 18 și xyz=6xyz = 6.
33 puncte
x,y,zx, y, z sunt rădăcinile ecuației cubice t3−(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t−xyz=0t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0, adică t3−6t2+11t−6=0t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = 0. Factorizăm: (t−1)(t−2)(t−3)=0(t-1)(t-2)(t-3)=0, deci soluțiile sunt t=1,t=2,t=3t=1, t=2, t=3.
42 puncte
Verificăm că tripleta (1,2,3)(1,2,3) (sau orice permutare) satisface sistemul: 1+2+3=61+2+3=6, 12+22+32=1+4+9=141^2+2^2+3^2=1+4+9=14, 13+23+33=1+8+27=361^3+2^3+3^3=1+8+27=36. Deci soluțiile sunt x,y,z∈{1,2,3}x,y,z \in \{1,2,3\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Identități algebricePolinoameȘiruri de numere reale
Fie x1x_1 și x2x_2 rădăcinile ecuației x2−3x+1=0x^2 - 3x + 1 = 0. Calculați x15+x25x_1^5 + x_2^5 folosind identități algebrice, fără a rezolva explicit ecuația.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Din relațiile lui Viete, avem x1+x2=3x_1 + x_2 = 3 și x1x2=1x_1 x_2 = 1.
23 puncte
Folosim identitatea x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=9−2=7x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 9 - 2 = 7.
33 puncte
Pentru puteri mai mari, folosim recurența derivată din ecuație: x2=3x−1x^2 = 3x - 1, deci xn+2=3xn+1−xnx^{n+2} = 3x^{n+1} - x^n pentru n≥1n \geq 1. Aplicând pentru sume, definim Sn=x1n+x2nS_n = x_1^n + x_2^n. Atunci Sn+2=3Sn+1−SnS_{n+2} = 3S_{n+1} - S_n. Calculăm secvențial: S1=3S_1 = 3, S2=7S_2 = 7, S3=3S2−S1=21−3=18S_3 = 3S_2 - S_1 = 21 - 3 = 18, S4=3S3−S2=54−7=47S_4 = 3S_3 - S_2 = 54 - 7 = 47, S5=3S4−S3=141−18=123S_5 = 3S_4 - S_3 = 141 - 18 = 123.
42 puncte
Deci x15+x25=S5=123x_1^5 + x_2^5 = S_5 = 123.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie a,b,ca, b, c numere reale astfel încât a+b+c=0a+b+c=0 și abc≠0abc \neq 0. Calculați a3+b3+c3abc\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}.
Mediu#7Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Demonstrați că pentru orice numere reale aa, bb, cc, are loc identitatea: (a+b+c)3−a3−b3−c3=3(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a). Folosind această identitate, calculați suma S=11⋅2⋅3+12⋅3⋅4+13⋅4⋅5+⋯+1n(n+1)(n+2)S = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Mediu#8Identități algebriceNumere ComplexeInducție matematică
Fie z1,z2,…,znz_1, z_2, \dots, z_n numere complexe cu ∣zk∣=1|z_k| = 1 pentru fiecare k=1,2,…,nk = 1, 2, \dots, n. Demonstrați prin inducție matematică că ∣z1+z2+⋯+zn∣2+∣1+z1z2…zn∣2=(n+1)2|z_1 + z_2 + \dots + z_n|^2 + |1 + z_1 z_2 \dots z_n|^2 = (n+1)^2 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, folosind identități algebrice pentru modulele numerelor complexe.
Mediu#9Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie a,b,ca, b, c numere reale astfel încât a+b+c=0a+b+c=0 și a2+b2+c2=1a^2 + b^2 + c^2 = 1. Demonstrați că a4+b4+c4=12a^4 + b^4 + c^4 = \frac{1}{2}.
Mediu#10Identități algebriceNumere Complexe
Fie zz un număr complex astfel încât z2+z+1=0z^2 + z + 1 = 0. Calculați valoarea expresiei E=z2023+1z2023E = z^{2023} + \frac{1}{z^{2023}}.
Mediu#11Identități algebriceȘiruri de numere reale
Calculați suma S=12+22+32+⋯+n2S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 folosind identitatea (k+1)3−k3=3k2+3k+1(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1.
Mediu#12Identități algebriceNumere Complexe
Fie z1,z2,z3∈Cz_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} astfel încât z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0. Demonstrați că z13+z23+z33=3z1z2z3z_1^3 + z_2^3 + z_3^3 = 3z_1 z_2 z_3.
Mediu#13Identități algebricePolinoameNumere Complexe
Fie P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c un polinom cu rădăcinile x1,x2,x3∈Cx_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}. Exprimați x13+x23+x33x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 în funcție de a,b,ca, b, c.
Mediu#14Identități algebriceȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Utilizând identitatea algebrică (k+1)3−k3=3k2+3k+1(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 pentru orice număr natural kk, deduceți formula pentru suma Sn=12+22+⋯+n2S_n = 1^2 + 2^2 + \dots + n^2, unde nn este un număr natural.
Mediu#15Identități algebriceNumere Complexe
Fie z1z_1 și z2z_2 numere complexe astfel încât z12+z22=0z_1^2 + z_2^2 = 0 și ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1. Să se determine valoarea ∣z1+z2∣|z_1 + z_2| folosind identități algebrice.

Și alte 45 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Accesează toate cele 60 probleme de Identități algebrice cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.