Probleme ușoare de Identități algebrice

Clasa a 9-a • 38 probleme de nivel ușor

Mediu (60)Greu (2)Toate
Ușor#1Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Demonstrarea identității: a2−b2a−b=(a−b)(a+b)a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = \frac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a + b, pentru a≠ba \neq b.
22 puncte
Aplicăm identitatea pentru primul termen: 32−223−2=3+2=5\frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} = 3 + 2 = 5.
32 puncte
Aplicăm identitatea pentru al doilea termen: 52−325−3=5+3=8\frac{5^2 - 3^2}{5 - 3} = 5 + 3 = 8.
43 puncte
Calculăm expresia E=5+8=13E = 5 + 8 = 13.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Identități algebriceNumere Complexe
Demonstrați identitatea algebrică (x+y)2+(x−y)2=2(x2+y2)(x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2 + y^2) pentru orice numere reale sau complexe. Apoi, aplicați-o pentru a calcula valoarea expresiei (1+2i+3−i)2+(1+2i−3+i)2(1+2i + 3-i)^2 + (1+2i - 3+i)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Expandăm (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 și (x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2, apoi adunăm pentru a obține 2x2+2y2=2(x2+y2)2x^2 + 2y^2 = 2(x^2 + y^2).
23 puncte
Identificăm x=1+2ix = 1+2i și y=3−iy = 3-i, deci x+y=4+ix+y = 4+i și x−y=−2+3ix-y = -2+3i.
33 puncte
Calculăm (4+i)2=16+8i+i2=15+8i(4+i)^2 = 16 + 8i + i^2 = 15 + 8i și (−2+3i)2=4−12i+9i2=−5−12i(-2+3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = -5 -12i, apoi adunăm: (15+8i)+(−5−12i)=10−4i(15+8i) + (-5-12i) = 10 - 4i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Identități algebriceProgresii Geometrice
Fie x,y,zx, y, z termenii consecutivi ai unei progresii geometrice. Folosind identități algebrice, demonstrați că (x+y+z)(x−y+z)=x2+y2+z2(x+y+z)(x-y+z) = x^2 + y^2 + z^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Din progresia geometrică, avem y2=xzy^2 = xz.
23 puncte
Expandăm produsul folosind identitatea (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2 cu a=x+za=x+z și b=yb=y, obținând (x+y+z)(x−y+z)=(x+z)2−y2=x2+2xz+z2−y2(x+y+z)(x-y+z) = (x+z)^2 - y^2 = x^2 + 2xz + z^2 - y^2.
33 puncte
Înlocuim y2=xzy^2 = xz în expresia anterioară: x2+2xz+z2−xz=x2+xz+z2x^2 + 2xz + z^2 - xz = x^2 + xz + z^2. Deoarece y2=xzy^2 = xz, avem x2+y2+z2=x2+xz+z2x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + xz + z^2, deci egalitatea este demonstrată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Identități algebriceNumere Complexe
Fie numerele complexe z1=1+2iz_1 = 1+2i și z2=3−iz_2 = 3-i. Calculați (z1+z2)2−(z1−z2)2(z_1 + z_2)^2 - (z_1 - z_2)^2 folosind identități algebrice și simplificați rezultatul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identifică și aplică identitatea algebrică (a+b)2−(a−b)2=4ab(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab.
23 puncte
Calculează z1+z2=(1+2i)+(3−i)=4+iz_1 + z_2 = (1+2i) + (3-i) = 4+i și z1−z2=(1+2i)−(3−i)=−2+3iz_1 - z_2 = (1+2i) - (3-i) = -2+3i.
32 puncte
Folosind identitatea, expresia devine 4z1z24z_1z_2.
43 puncte
Calculează z1z2=(1+2i)(3−i)=3−i+6i−2i2=3+5i+2=5+5iz_1z_2 = (1+2i)(3-i) = 3 - i + 6i - 2i^2 = 3 + 5i + 2 = 5+5i și apoi 4z1z2=4(5+5i)=20+20i4z_1z_2 = 4(5+5i) = 20+20i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Identități algebricePolinoame
Demonstrați că pentru orice numere reale a,b,ca, b, c, are loc identitatea a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca). Utilizați aceasta pentru a factoriza polinomul x3+y3+z3−3xyzx^3 + y^3 + z^3 - 3xyz.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculează (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca): extinde produsul ca a(a2+b2+c2−ab−bc−ca)+b(a2+b2+c2−ab−bc−ca)+c(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) + b(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) + c(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) și simplifică termenii pentru a obține a3+b3+c3−3abca^3 + b^3 + c^3 - 3abc.
23 puncte
Aplică identitatea pentru a=x,b=y,c=za=x, b=y, c=z, deci x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx).
33 puncte
Scrie factorizarea completă a polinomului ca (x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)(x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă xx este un număr real cu proprietatea că x+1x=4x + \frac{1}{x} = 4, determinați x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3}.
Ușor#7Identități algebricePolinoame
Fie polinomul P(x)=x2+px+qP(x) = x^2 + px + q. Dacă P(x)⋅P(−x)=x4−5x2+4P(x) \cdot P(-x) = x^4 - 5x^2 + 4, determinați coeficienții pp și qq.
Ușor#8Identități algebriceNumere Complexe
Fie z=1−iz = 1 - i. Calculați z2+2z+2z^2 + 2z + 2 și verificați dacă rezultatul este un număr real, folosind identități algebrice.
Ușor#9Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă a+b+c=0a + b + c = 0, demonstrați că a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc utilizând identități algebrice.
Ușor#10Identități algebricePolinoame
Fie P(x)=(x−1)(x+1)(x2+1)(x4+1)P(x) = (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1). Calculați P(2)P(2) și demonstrați că pentru orice xx real, P(x)=x8−1P(x) = x^8 - 1.
Ușor#11Identități algebriceNumere Complexe
Fie z=a+biz = a+bi și w=c+diw = c+di numere complexe. Folosind identități algebrice, demonstrați că ∣z+w∣2=∣z∣2+∣w∣2+2Re(zwˉ)|z+w|^2 = |z|^2 + |w|^2 + 2\text{Re}(z\bar{w}). Apoi, pentru z=1+iz=1+i și w=1−iw=1-i, calculați ∣z∣2+∣w∣2|z|^2 + |w|^2 și verificați identitatea.
Ușor#12Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați că pentru orice numere reale xx, yy, zz cu x+y+z=0x+y+z=0, are loc identitatea x3+y3+z3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3xyz.
Ușor#13Identități algebricePolinoame
Fie x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 rădăcinile polinomului P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c. Exprimați x12+x22+x32x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 în funcție de coeficienții aa, bb, cc.
Ușor#14Identități algebriceNumere Complexe
Pentru numerele complexe z1z_1 și z2z_2, demonstrați identitatea: ∣z1+z2∣2+∣z1−z2∣2=2(∣z1∣2+∣z2∣2)|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2).
Ușor#15Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Dacă aa, bb, cc sunt numere reale astfel încât a+b+c=0a+b+c=0, să se demonstreze că a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc.

Și alte 23 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Accesează toate cele 38 probleme de Identități algebrice cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.