Probleme de nivel mediu de Legi de compoziție

Clasa a 12-a • 291 probleme de nivel mediu

Ușor (84)Toate
Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm asociativitatea: (x∗y)∗z=(xy+2x+3y+k)∗z=(xy+2x+3y+k)z+2(xy+2x+3y+k)+3z+k=xyz+2xz+3yz+kz+2xy+4x+6y+2k+3z+k(x * y) * z = (xy + 2x + 3y + k) * z = (xy + 2x + 3y + k)z + 2(xy + 2x + 3y + k) + 3z + k = xyz + 2xz + 3yz + kz + 2xy + 4x + 6y + 2k + 3z + k. x∗(y∗z)=x∗(yz+2y+3z+k)=x(yz+2y+3z+k)+2x+3(yz+2y+3z+k)+k=xyz+2xy+3xz+kx+2x+3yz+6y+9z+3k+kx * (y * z) = x * (yz + 2y + 3z + k) = x(yz + 2y + 3z + k) + 2x + 3(yz + 2y + 3z + k) + k = xyz + 2xy + 3xz + kx + 2x + 3yz + 6y + 9z + 3k + k. Egalând coeficienții, obținem k=6k = 6.
23 puncte
Pentru k=6k=6, verificăm comutativitatea: x∗y=xy+2x+3y+6x * y = xy + 2x + 3y + 6, y∗x=yx+2y+3x+6y * x = yx + 2y + 3x + 6, deci legea este comutativă. Elementul neutru ee satisface x∗e=xx * e = x: xe+2x+3e+6=x⇒e(x+3)=−x−6xe + 2x + 3e + 6 = x \Rightarrow e(x+3) = -x-6. Pentru orice xx, aceasta trebuie să fie adevărată, deci coeficienții lui xx trebuie egali: e=−1e = -1 și −6=3e⇒e=−1-6 = 3e \Rightarrow e=-1.
34 puncte
Rezolvăm x∗x=1x * x = 1: x2+2x+3x+6=1⇒x2+5x+5=0x^2 + 2x + 3x + 6 = 1 \Rightarrow x^2 + 5x + 5 = 0. Discriminantul este Δ=25−20=5\Delta = 25 - 20 = 5, deci soluțiile sunt x=−5±52x = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Asociativitatea: Calculăm (x⋄y)⋄z=(x+y−xy)⋄z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x \diamond y) \diamond z = (x + y - xy) \diamond z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz. x⋄(y⋄z)=x⋄(y+z−yz)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyz=x+y+z−xy−xz−yz+xyzx \diamond (y \diamond z) = x \diamond (y + z - yz) = x + (y + z - yz) - x(y + z - yz) = x + y + z - yz - xy - xz + xyz = x + y + z - xy - xz - yz + xyz, deci egal, deci asociativă.
22 puncte
Comutativitatea: x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy, y⋄x=y+x−yx=x+y−xyy \diamond x = y + x - yx = x + y - xy, deci comutativă.
32 puncte
Elementul neutru ee: Din x⋄e=xx \diamond e = x, avem x+e−xe=x⇒e(1−x)=0x + e - xe = x \Rightarrow e(1-x)=0 pentru orice x∈Zx \in \mathbb{Z}, deci e=0e=0.
42 puncte
Elemente simetrizabile: Un element xx este simetrizabil dacă există x′∈Zx' \in \mathbb{Z} astfel încât x⋄x′=0x \diamond x' = 0. Rezolvăm x+x′−xx′=0⇒x′(1−x)=−x⇒x′=xx−1x + x' - xx' = 0 \Rightarrow x'(1-x) = -x \Rightarrow x' = \frac{x}{x-1} pentru x≠1x \neq 1. În Z\mathbb{Z}, x′x' trebuie să fie întreg, deci x−1x-1 divide xx. Cazuri: x=0x=0 dă x′=0x'=0, x=2x=2 dă x′=2x'=2. Alte valori nu sunt posibile. Deci elementele simetrizabile sunt 00 și 22, cu simetricele 00 și respectiv 22.
52 puncte
Ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3: 2+x−2x=3⇒2−x=3⇒x=−12 + x - 2x = 3 \Rightarrow 2 - x = 3 \Rightarrow x = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea comutativității: calcul x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} și y∗x=y+x1−yxy * x = \frac{y+x}{1-yx}, observând egalitatea.
24 puncte
Verificarea asociativității: calcul (x∗y)∗z=x+y1−xy+z1−x+y1−xyz(x * y) * z = \frac{\frac{x+y}{1-xy}+z}{1-\frac{x+y}{1-xy}z} și x∗(y∗z)=x+y+z1−yz1−xy+z1−yzx * (y * z) = \frac{x+\frac{y+z}{1-yz}}{1-x\frac{y+z}{1-yz}}, simplificând ambele expresii pentru a arăta că sunt egale.
32 puncte
Găsirea elementului neutru ee rezolvând x∗e=xx * e = x, adică x+e1−xe=x\frac{x+e}{1-xe} = x, obținând e=0e=0.
41 punct
Pentru fiecare xx, găsirea elementului simetric x′x' rezolvând x∗x′=0x * x' = 0, adică x+x′1−xx′=0\frac{x+x'}{1-xx'} = 0, deci x+x′=0x+x'=0, rezultând x′=−xx' = -x, cu condiția x≠1x \neq 1 și verificarea că x′∈R∖{1}x' \in \mathbb{R} \setminus \{1\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificarea asociativității: calcul (x∗y)∗z=(x+y+3xy)∗z=x+y+3xy+z+3(x+y+3xy)z=x+y+z+3(xy+xz+yz)+9xyz(x * y) * z = (x+y+3xy) * z = x+y+3xy+z+3(x+y+3xy)z = x+y+z+3(xy+xz+yz)+9xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z+3yz)=x+y+z+3yz+3x(y+z+3yz)=x+y+z+3(xy+xz+yz)+9xyzx * (y * z) = x * (y+z+3yz) = x+y+z+3yz+3x(y+z+3yz) = x+y+z+3(xy+xz+yz)+9xyz, comparând și concluzionând că operația este asociativă.
24 puncte
Rezolvarea ecuației: calcul 2∗x=2+x+3⋅2⋅x=2+x+6x=2+7x2 * x = 2 + x + 3\cdot2\cdot x = 2 + x + 6x = 2 + 7x, apoi (2∗x)∗3=(2+7x)∗3=2+7x+3+3(2+7x)3=5+7x+18+63x=23+70x(2 * x) * 3 = (2+7x) * 3 = 2+7x+3+3(2+7x)3 = 5+7x+18+63x = 23+70x, setând 23+70x=523+70x=5, deci 70x=−1870x=-18, x=−1870=−935x=-\frac{18}{70}=-\frac{9}{35}, care nu este întreg, deci ecuația nu are soluții în Z\mathbb{Z}.
33 puncte
Condiția a∗b=0a * b = 0 implică a+b+3ab=0a+b+3ab=0. Rezolvând pentru bb, b(1+3a)=−ab(1+3a) = -a, deci dacă 1+3a≠01+3a \neq 0, b=−a1+3ab = \frac{-a}{1+3a}. Pentru ca bb să fie întreg, 1+3a1+3a trebuie să dividă aa. Analizând cazurile: dacă 1+3a=±11+3a = \pm 1, adică a=0a=0 sau a=−23a=-\frac{2}{3} (nu întreg), sau 1+3a1+3a divide aa pentru anumite valori întregi, cum ar fi a=0a=0 dă b=0b=0, a=1a=1 dă b=−14b=-\frac{1}{4} nu întreg, etc. Lista completă: a=0a=0 cu b=0b=0, și pentru aa astfel încât 1+3a1+3a este divizor al lui aa, de exemplu a=−1a=-1 dă b=12b=\frac{1}{2} nu întreg, deci singura soluție în Z\mathbb{Z} este a=0a=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Legi de compozițieGrupuri
Fie operația ∗* definită pe mulțimea R\mathbb{R} prin x∗y=xy+ax+by+cx * y = xy + ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Să se determine parametrii a,b,ca, b, c astfel încât operația ∗* să fie asociativă și să admită element neutru.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem condiția de asociativitate (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z) pentru orice x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R} și deducem că a=ba = b și c=0c = 0.
23 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=e∗x=xx * e = e * x = x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și obținem ecuațiile ae+b=0ae + b = 0 și e2+ae+c=ee^2 + ae + c = e, care, împreună cu condițiile de la pasul 1, conduc la a=b=0a = b = 0 și c=0c = 0.
34 puncte
Rezolvăm sistemul și concluzionăm că singura soluție este a=b=c=0a = b = c = 0, deci operația este x∗y=xyx * y = xy, care este asociativă și are element neutru e=1e = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Legi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M={(x,y)∣x,y∈R,x>0}M = \{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{R}, x > 0\} definim operația ∘\circ prin (x1,y1)∘(x2,y2)=(x1x2,y1+x1y2)(x_1, y_1) \circ (x_2, y_2) = (x_1 x_2, y_1 + x_1 y_2). Să se demonstreze că (M,∘)(M, \circ) este un grup.
Mediu#7Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R} prin a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab, pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Demonstrați că ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru care a∈Ra \in \mathbb{R} există inversul a′a' astfel încât a∗a′=ea * a' = e, unde ee este elementul neutru? Găsiți inversul în aceste cazuri. d) Rezolvați ecuația 2∗x=32 * x = 3.
Mediu#8Legi de compozițieGrupuri
Considerăm mulțimea M={(x,y)∣x,y∈R}M = \{ (x, y) \mid x, y \in \mathbb{R} \} și operația ⊕\oplus definită prin (x1,y1)⊕(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2+x1x2)(x_1, y_1) \oplus (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2 + x_1 x_2) pentru orice (x1,y1),(x2,y2)∈M(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in M. a) Demonstrați că ⊕\oplus este asociativă. b) Găsiți elementul neutru față de ⊕\oplus. c) Arătați că fiecare element (x,y)∈M(x, y) \in M are un invers și determinați-l.
Mediu#9Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție x∘y=xy−x−y+2x \circ y = xy - x - y + 2. a) Arătați că (M,∘)(M, \circ) este grup comutativ. b) Rezolvați în MM ecuația x∘x∘x=8x \circ x \circ x = 8, unde x∘x∘xx \circ x \circ x înseamnă (x∘x)∘x(x \circ x) \circ x.
Mediu#10Legi de compozițieGrupuriSisteme de Ecuații Neliniare
Fie mulțimea A={a,b,c,d}A = \{ a, b, c, d \} și legea de compoziție ∗* definită prin tabelul: ∗abcdaabcdbbadcccdabddcba\begin{array}{c|cccc} * & a & b & c & d \\ \hline a & a & b & c & d \\ b & b & a & d & c \\ c & c & d & a & b \\ d & d & c & b & a \\ \end{array} a) Studiați proprietățile operației ∗* (asociativitate, comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile). b) Rezolvați sistemul de ecuații: {x∗y=ay∗z=bz∗x=c\begin{cases} x * y = a \\ y * z = b \\ z * x = c \end{cases} în mulțimea AA.
Mediu#11Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R} se consideră legea de compoziție ∗* definită prin a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab, pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determinați dacă legea ∗* este comutativă, asociativă, are element neutru și, în caz afirmativ, găsiți elementele simetrizabile.
Mediu#12Legi de compozițieGrupuri
Fie M={x∈R∣x≠−1}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy pentru orice x,y∈Mx, y \in M. Demonstrați că (M,∗)(M, *) este un grup comutativ.
Mediu#13Legi de compozițiePolinoame
Se consideră operația ∗* definită pe mulțimea R\mathbb{R} prin a∗b=a+b−aba*b = a + b - ab, pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Demonstrați că operația ∗* este comutativă și asociativă. Aflați elementul neutru și rezolvați ecuația x∗x∗x=2x*x*x = 2 în mulțimea R\mathbb{R}.
Mediu#14Legi de compozițieGrupuri
Fie operația ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab. a) Demonstrați că operația ∗* este asociativă. b) Determinați elementul neutru al operației ∗*. c) Pentru fiecare a∈R∖{1}a \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați inversul său a′a' astfel încât a∗a′=a′∗a=ea * a' = a' * a = e, unde ee este elementul neutru. d) Rezolvați ecuația x∗2=3x * 2 = 3 în mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}.
Mediu#15Legi de compozițieGrupuri
Fie operația ∗* definită pe R\mathbb{R} prin x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy. a) Arătați că operația este asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈Rx \in \mathbb{R}, determinați elementul simetric, dacă există. d) Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația (x∗2)∗3=4(x * 2) * 3 = 4.

Și alte 276 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Accesează toate cele 291 probleme de Legi de compoziție cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.