Probleme ușoare de Legi de compoziție

Clasa a 12-a • 84 probleme de nivel ușor

Mediu (291)Toate
Ușor#1Legi de compozițieTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{x \in \mathbb{R} | x > 0\} și operația ⊕\oplus definită prin x⊕y=x2+y2x \oplus y = \sqrt{x^2 + y^2} pentru orice x,y∈Mx, y \in M. Verificați dacă ⊕\oplus este lege de compoziție internă pe MM, studiați comutativitatea și asociativitatea, și determinați dacă există element neutru. Dacă da, calculați inversul unui element a∈Ma \in M.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea că ⊕\oplus este internă pe MM: Pentru orice x,y>0x, y > 0, avem x2+y2>0x^2 + y^2 > 0, deci x2+y2>0\sqrt{x^2 + y^2} > 0, așadar x⊕y∈Mx \oplus y \in M și operația este internă.
22 puncte
Studierea comutativității: x⊕y=x2+y2=y2+x2=y⊕xx \oplus y = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{y^2 + x^2} = y \oplus x, deci operația este comutativă.
33 puncte
Studierea asociativității: Calculăm (x⊕y)⊕z=(x2+y2)2+z2=x2+y2+z2(x \oplus y) \oplus z = \sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} și x⊕(y⊕z)=x2+(y2+z2)2=x2+y2+z2x \oplus (y \oplus z) = \sqrt{x^2 + (\sqrt{y^2 + z^2})^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, deci (x⊕y)⊕z=x⊕(y⊕z)(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z) și operația este asociativă.
42 puncte
Determinarea elementului neutru: Fie ee element neutru, atunci x⊕e=x  ⟹  x2+e2=x  ⟹  x2+e2=x2  ⟹  e2=0  ⟹  e=0x \oplus e = x \implies \sqrt{x^2 + e^2} = x \implies x^2 + e^2 = x^2 \implies e^2 = 0 \implies e=0. Dar 0∉M0 \notin M, deci nu există element neutru în MM.
51 punct
Deoarece nu există element neutru în MM, nu se poate defini inversul pentru un element a∈Ma \in M.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Legi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M={a,b,c}M = \{a, b, c\} se definește legea de compoziție ∗* prin tabelul: ∗abcaabcbbcaccab\begin{array}{c|ccc} * & a & b & c \\ \hline a & a & b & c \\ b & b & c & a \\ c & c & a & b \end{array} a) Verificați dacă operația este comutativă. b) Determinați dacă există element neutru și indicați-l. c) Studiați dacă fiecare element are simetric. d) Demonstrați că (M,∗)(M, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Verificăm comutativitatea: din tabel, a∗b=ba * b = b și b∗a=bb * a = b, a∗c=ca * c = c și c∗a=cc * a = c, b∗c=ab * c = a și c∗b=ac * b = a. Toate perechile satisfac x∗y=y∗xx * y = y * x, deci operația este comutativă.
22 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Mx \in M. Din tabel, a∗a=aa * a = a, b∗a=bb * a = b, c∗a=cc * a = c, deci aa este element neutru. Verificăm că a∗x=xa * x = x pentru toate xx, conform tabelului.
33 puncte
Studiem simetricele: pentru aa, a∗a=aa * a = a, deci simetricul lui aa este aa (element neutru). Pentru bb, b∗c=ab * c = a și c∗b=ac * b = a, deci simetricul lui bb este cc. Pentru cc, c∗b=ac * b = a și b∗c=ab * c = a, deci simetricul lui cc este bb. Toate elementele au simetric.
44 puncte
Demonstrăm că (M,∗)(M, *) este un grup:
  • Operația este internă (definită pe MM prin tabel).
  • Asociativitatea: verificăm pentru toate combinațiile de x,y,z∈Mx, y, z \in M. De exemplu, (a∗b)∗c=b∗c=a(a * b) * c = b * c = a și a∗(b∗c)=a∗a=aa * (b * c) = a * a = a; se poate verifica similar pentru alte cazuri și se confirmă asociativitatea.
  • Există element neutru aa.
  • Fiecare element are simetric. Prin urmare, (M,∗)(M, *) este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Legi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție x⋆y=xy−x−y+2x \star y = xy - x - y + 2. a) Arătați că legea este asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația x⋆3=5x \star 3 = 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm (x⋆y)⋆z=(xy−x−y+2)⋆z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+z(x \star y) \star z = (xy - x - y + 2) \star z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xz - yz + 2z - xy + x + y - 2 - z + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z. Similar, x⋆(y⋆z)=x⋆(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+zx \star (y \star z) = x \star (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z, deci sunt egale și legea este asociativă.
23 puncte
Căutăm e∈Re \in \mathbb{R} astfel încât x⋆e=xx \star e = x pentru orice xx. Avem x⋆e=xe−x−e+2=xx \star e = xe - x - e + 2 = x, deci xe−e=2x−2xe - e = 2x - 2, adică e(x−1)=2(x−1)e(x-1) = 2(x-1). Pentru x≠1x \neq 1, obținem e=2e=2, dar verificând pentru x=1x=1: 1⋆e=1⋅e−1−e+2=11 \star e = 1 \cdot e - 1 - e + 2 = 1, deci 1=11=1, adevărat pentru orice ee, deci ee nu este unic; corectăm: din xe−x−e+2=xxe - x - e + 2 = x, rezultă xe−e=2x−2xe - e = 2x - 2, deci e(x−1)=2(x−1)e(x-1) = 2(x-1). Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, trebuie e=2e=2 și verificăm: pentru x=1x=1, 1⋆2=1⋅2−1−2+2=11 \star 2 = 1 \cdot 2 - 1 - 2 + 2 = 1, deci elementul neutru este e=2e=2.
34 puncte
Rezolvăm x⋆3=5x \star 3 = 5: x⋅3−x−3+2=5x \cdot 3 - x - 3 + 2 = 5, deci 3x−x−1=53x - x - 1 = 5, 2x=62x = 6, deci x=3x=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe R\mathbb{R} prin a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab. a) Arătați că operația ∗* este asociativă. b) Determinați elementul neutru al operației. c) Pentru ce valori ale lui a∈Ra \in \mathbb{R} există inversul lui aa în raport cu operația ∗* și aflați acest invers.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificăm asociativitatea: calculăm (a∗b)∗c=(a+b−ab)∗c=a+b−ab+c−(a+b−ab)c=a+b+c−ab−ac−bc+abc(a*b)*c = (a+b-ab)*c = a+b-ab+c - (a+b-ab)c = a+b+c - ab - ac - bc + abc și a∗(b∗c)=a∗(b+c−bc)=a+(b+c−bc)−a(b+c−bc)=a+b+c−bc−ab−ac+abca*(b*c) = a*(b+c-bc) = a + (b+c-bc) - a(b+c-bc) = a+b+c - bc - ab - ac + abc. Observăm că ambele expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
23 puncte
Căutăm elementul neutru ee: din a∗e=aa*e = a, avem a+e−ae=a⇒e(1−a)=0a+e-ae = a \Rightarrow e(1-a)=0 pentru orice a∈Ra \in \mathbb{R}, deci e=0e=0. Verificăm: a∗0=a+0−a⋅0=aa*0 = a+0-a\cdot0 = a și 0∗a=0+a−0⋅a=a0*a = 0+a-0\cdot a = a.
33 puncte
Pentru a avea invers, trebuie să existe a′a' astfel încât a∗a′=0a*a' = 0. Din a+a′−aa′=0⇒a′(1−a)=−aa+a'-aa' = 0 \Rightarrow a'(1-a) = -a. Dacă a≠1a \neq 1, atunci a′=−a1−aa' = \frac{-a}{1-a}. Dacă a=1a=1, ecuația devine 1+a′−a′=1=01+a'-a' = 1 = 0, imposibil, deci pentru a=1a=1 nu există invers.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm mulțimea M={(a,b)∣a,b∈R}M = \{ (a, b) \mid a, b \in \mathbb{R} \} și operația ⊕\oplus definită prin (a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d+ac)(a,b) \oplus (c,d) = (a+c, b+d+ac). a) Stabiliți dacă operația ⊕\oplus este comutativă. b) Determinați elementul neutru al operației ⊕\oplus. c) Rezolvați ecuația (x,y)⊕(2,3)=(5,1)(x,y) \oplus (2,3) = (5,1).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm comutativitatea: (a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d+ac)(a,b) \oplus (c,d) = (a+c, b+d+ac) și (c,d)⊕(a,b)=(c+a,d+b+ca)(c,d) \oplus (a,b) = (c+a, d+b+ca). Deoarece adunarea și înmulțirea sunt comutative pe R\mathbb{R}, avem a+c=c+aa+c = c+a și b+d+ac=d+b+cab+d+ac = d+b+ca, deci operația este comutativă.
24 puncte
Căutăm elementul neutru (e,f)(e,f): din (a,b)⊕(e,f)=(a,b)(a,b) \oplus (e,f) = (a,b), avem a+e=aa+e = a și b+f+ae=bb+f+ae = b. Din prima ecuație, e=0e=0. Înlocuind în a doua, b+f+0=b⇒f=0b+f+0 = b \Rightarrow f=0. Verificăm: (0,0)(0,0) este element neutru, deoarece (a,b)⊕(0,0)=(a+0,b+0+a⋅0)=(a,b)(a,b) \oplus (0,0) = (a+0, b+0+a\cdot0) = (a,b).
33 puncte
Rezolvăm ecuația: (x,y)⊕(2,3)=(5,1)(x,y) \oplus (2,3) = (5,1), deci x+2=5x+2=5 și y+3+2x=1y+3+2x=1. Din prima, x=3x=3. Înlocuim în a doua: y+3+2⋅3=1⇒y+3+6=1⇒y+9=1⇒y=−8y+3+2\cdot3=1 \Rightarrow y+3+6=1 \Rightarrow y+9=1 \Rightarrow y=-8. Soluția este (3,−8)(3,-8).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Legi de compoziție
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R2\mathbb{R}^2 definită prin (x1,y1)∗(x2,y2)=(x1x2,y1+y2)(x_1, y_1) * (x_2, y_2) = (x_1 x_2, y_1 + y_2). Să se arate că ∗* este asociativă și comutativă. Să se determine elementul neutru. Să se rezolve ecuația (1,0)∗(a,b)=(2,3)(1,0) * (a,b) = (2,3).
Ușor#7Legi de compozițieGrupuri
Fie operația ∗* definită pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R} prin x∗y=xy+x+yx * y = xy + x + y, pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. a) Verificați dacă operația ∗* este asociativă. b) Determinați elementul neutru al operației ∗*, dacă există. c) Pentru fiecare element x∈Rx \in \mathbb{R}, găsiți inversul său față de operația ∗*, dacă există.
Ușor#8Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* definită pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R} prin x∗y=x2+y2x * y = \sqrt{x^2 + y^2}. Stabiliți dacă legea este asociativă, comutativă și dacă admite element neutru.
Ușor#9Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție ⊗\otimes prin x⊗y=x+y−xyx \otimes y = x + y - xy. Rezolvați ecuația (x⊗2)⊗3=1(x \otimes 2) \otimes 3 = 1.
Ușor#10Legi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M=RM = \mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy. Arătați că legea este asociativă și determinați elementul neutru.
Ușor#11Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe R\mathbb{R} prin a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}.\n a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă.\n b) Determinați elementul neutru al acestei operații, dacă există.\n c) Pentru ce valori ale lui a∈Ra \in \mathbb{R} există inversul a′a' astfel încât a∗a′=a′∗a=ea * a' = a' * a = e, unde ee este elementul neutru?
Ușor#12Legi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M={a,b,c}M = \{ a, b, c \} se definește legea de compoziție ∘\circ prin tabelul: ∘abcaabcbbcaccab\begin{array}{c|ccc} \circ & a & b & c \\ \hline a & a & b & c \\ b & b & c & a \\ c & c & a & b \end{array}. a) Studiați comutativitatea legii ∘\circ. b) Verificați asociativitatea pentru toate cazurile posibile. c) Identificați elementul neutru, dacă există. d) Stabiliți dacă (M,∘)(M, \circ) este un grup.
Ușor#13Legi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție ∗* prin a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab, pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Arătați că legea ∗* este asociativă. b) Determinați elementul neutru al legii ∗*. c) Pentru fiecare a∈Ra \in \mathbb{R}, determinați inversul său, dacă există. d) Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația (x∗2)∗3=4(x * 2) * 3 = 4.
Ușor#14Legi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea Z7∗={1,2,3,4,5,6}\mathbb{Z}_7^* = \{1,2,3,4,5,6\} se definește legea de compoziție ⊙\odot prin a⊙b=(a⋅b)mod  7a \odot b = (a \cdot b) \mod 7, pentru orice a,b∈Z7∗a, b \in \mathbb{Z}_7^*. a) Demonstrați că (Z7∗,⊙)(\mathbb{Z}_7^*, \odot) este un grup. b) Rezolvați în Z7∗\mathbb{Z}_7^* ecuația x⊙3=5x \odot 3 = 5.
Ușor#15Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm legea de compoziție △\triangle pe R\mathbb{R} definită prin x△y=x3+y33x \triangle y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}. a) Să se arate că operația este comutativă. b) Să se arate că operația este asociativă. c) Să se rezolve în R\mathbb{R} ecuația a△x=ba \triangle x = b, unde aa și bb sunt numere reale fixate.

Și alte 69 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Accesează toate cele 84 probleme de Legi de compoziție cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.