Probleme ușoare de Matrici

Clasa a 11-a • 52 probleme de nivel ușor

Mediu (105)Greu (17)Toate
Ușor#1MatriciProbabilitățiMatematică aplicată
Un studiu sociologic urmărește migrația populației între trei regiuni: urban, suburban, rural. Matricea tranziției anuale este T=(0.70.20.10.10.60.30.20.20.6)T = \begin{pmatrix} 0.7 & 0.2 & 0.1 \\ 0.1 & 0.6 & 0.3 \\ 0.2 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}, unde TijT_{ij} este proporția care se mută din regiunea jj în regiunea ii într-un an. Dacă la începutul anului, distribuția este (0.4,0.3,0.3)(0.4, 0.3, 0.3), determinați distribuția după doi ani folosind operații cu matrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Reprezentarea distribuției inițiale ca vector coloană V0=(0.40.30.3)V_0 = \begin{pmatrix} 0.4 \\ 0.3 \\ 0.3 \end{pmatrix}.
26 puncte
Calculul distribuției după un an: V1=T⋅V0=(0.7⋅0.4+0.2⋅0.3+0.1⋅0.30.1⋅0.4+0.6⋅0.3+0.3⋅0.30.2⋅0.4+0.2⋅0.3+0.6⋅0.3)V_1 = T \cdot V_0 = \begin{pmatrix} 0.7 \cdot 0.4 + 0.2 \cdot 0.3 + 0.1 \cdot 0.3 \\ 0.1 \cdot 0.4 + 0.6 \cdot 0.3 + 0.3 \cdot 0.3 \\ 0.2 \cdot 0.4 + 0.2 \cdot 0.3 + 0.6 \cdot 0.3 \end{pmatrix}, și după doi ani: V2=T⋅V1=T2⋅V0V_2 = T \cdot V_1 = T^2 \cdot V_0. Efectuarea calculelor și obținerea vectorului V2V_2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2MatriciMatematică aplicatăSisteme de Ecuații Liniare
În contextul aplicațiilor economice, se consideră matricea A = (231241)\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} care descrie consumul de resurse (în unități) pentru producerea a două produse. Vectorul b = (10080120)\begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 120 \end{pmatrix} reprezintă disponibilul total de resurse. Determinați vectorul producției x = (x1x2)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} astfel încât A x = b. Dacă sistemul are soluție, calculați profitul total P = 5x₁ + 3x₂. Dacă nu, discutați semnificația aplicată a incompatibilității sistemului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea sistemului de ecuații liniare: 2x1+3x2=1002x_1 + 3x_2 = 100, x1+2x2=80x_1 + 2x_2 = 80, 4x1+x2=1204x_1 + x_2 = 120.
24 puncte
Rezolvarea sistemului; de exemplu, din primele două ecuații se obține x1=40x_1 = 40, x2=20x_2 = 20, care nu verifică a treia ecuație, deci sistemul este incompatibil.
32 puncte
Concluzia că sistemul nu are soluție, indicând imposibilitatea producerii exacte cu resursele date.
42 puncte
Interpretarea aplicată: incompatibilitatea arată că planul de producție nu este fezabil; este necesară revizuirea consumurilor sau a resurselor disponibile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3MatriciDeterminanți
Se consideră matricea A=(21−13)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}. Calculați A−1A^{-1} și determinați matricea XX care satisface ecuația AX=BAX = B, unde B=(102−1)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculează determinantul matricei A: det⁡(A)=2⋅3−1⋅(−1)=6+1=7\det(A) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) = 6 + 1 = 7.
23 puncte
Determină inversa matricei A: A−1=17(3−112)A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
34 puncte
Rezolvă ecuația AX=BAX = B prin înmulțire la stânga cu A−1A^{-1}: X=A−1B=17(3−112)(102−1)=17(3⋅1+(−1)⋅23⋅0+(−1)⋅(−1)1⋅1+2⋅21⋅0+2⋅(−1))=17(115−2)X = A^{-1}B = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 & 3 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) \\ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4MatriciDeterminanți
Se consideră matricele A=(21−13)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} și B=(102−1)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}. Calculați determinantul matricei C=A⋅B−B⋅AC = A \cdot B - B \cdot A și determinați dacă matricea CC este inversabilă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați A⋅B=(2⋅1+1⋅22⋅0+1⋅(−1)(−1)⋅1+3⋅2(−1)⋅0+3⋅(−1))=(4−15−3)A \cdot B = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + 1\cdot2 & 2\cdot0 + 1\cdot(-1) \\ (-1)\cdot1 + 3\cdot2 & (-1)\cdot0 + 3\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} și B⋅A=(1⋅2+0⋅(−1)1⋅1+0⋅32⋅2+(−1)⋅(−1)2⋅1+(−1)⋅3)=(215−1)B \cdot A = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + 0\cdot(-1) & 1\cdot1 + 0\cdot3 \\ 2\cdot2 + (-1)\cdot(-1) & 2\cdot1 + (-1)\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}.
23 puncte
Calculați C=A⋅B−B⋅A=(4−15−3)−(215−1)=(2−20−2)C = A \cdot B - B \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}.
33 puncte
Determinantul lui CC este det⁡(C)=2⋅(−2)−(−2)⋅0=−4\det(C) = 2 \cdot (-2) - (-2) \cdot 0 = -4. Deoarece det⁡(C)≠0\det(C) \neq 0, matricea CC este inversabilă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5MatriciDeterminanți
Se consideră matricea A=(21−13)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}. Calculați A2−3A+I2A^2 - 3A + I_2, unde I2I_2 este matricea unitate de ordinul 2. Arătați că matricea B=A2−3A+I2B = A^2 - 3A + I_2 este inversabilă și determinați inversa sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați A2=(21−13)⋅(21−13)=(35−58)A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -5 & 8 \end{pmatrix}.
22 puncte
Calculați B=A2−3A+I2=(35−58)−3(21−13)+(1001)=(−22−20)B = A^2 - 3A + I_2 = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -5 & 8 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}.
33 puncte
Calculați determinantul lui BB: det⁡(B)=(−2)⋅0−(2)⋅(−2)=4≠0\det(B) = (-2) \cdot 0 - (2) \cdot (-2) = 4 \neq 0, deci BB este inversabilă.
43 puncte
Determinați inversa lui BB: B−1=1det⁡(B)⋅adj(B)=14(0−22−2)=(0−1212−12)B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \cdot \text{adj}(B) = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6MatriciIdentități algebrice
Fie matricele A=(21−13)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} și B=(1−120)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}. Calculați (A+B)2(A+B)^2 și verificați dacă egalitatea (A+B)2=A2+2AB+B2(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 este adevărată.
Ușor#7Matrici
Demonstrați că dacă o matrice pătratică BB satisface B2−3B+2I=OB^2 - 3B + 2I = O, unde II este matricea identitate și OO este matricea nulă, atunci BB este inversabilă și găsiți inversa ei în funcție de BB.
Ușor#8MatriciDeterminanți
Fie matricea A=(1x001yz01)A = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & y \\ z & 0 & 1 \end{pmatrix}, cu x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}. a) Arătați că det⁡(A)=1+xyz\det(A) = 1 + xyz. b) Determinați valorile lui x,y,zx, y, z pentru care AA este inversabilă. c) Pentru x=2,y=3,z=4x=2, y=3, z=4, calculați A−1A^{-1}.
Ușor#9Matrici
Fie matricele A=(21−10321−11)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} și B=(102−12031−1)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}. Calculați C=A⋅BC = A \cdot B și D=B⋅AD = B \cdot A. Comparați CC și DD și comentați dacă înmulțirea matricelor este comutativă.
Ușor#10MatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră matricele A,B∈M2(R)A, B \in M_2(\mathbb{R}). Demonstrați că dacă AB=BAAB = BA, atunci (A+B)2=A2+2AB+B2(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2. Discutați dacă această proprietate este adevărată pentru orice matrice pătratice.
Ușor#11MatriciDeterminanți
Demonstrați că pentru orice matrice pătrată AA de ordinul 2, avem det⁡(A+I)+det⁡(A−I)=2det⁡(A)+2\det(A + I) + \det(A - I) = 2\det(A) + 2, unde II este matricea identitate.
Ușor#12MatriciSisteme de Ecuații Liniare
Determinați matricele X∈M2(R)X \in M_2(\mathbb{R}) care comută cu matricea A=(2102)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, adică AX=XAAX = XA.
Ușor#13MatriciDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(1m−12)A = \begin{pmatrix} 1 & m \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. a) Determinați valorile lui mm pentru care matricea AA este inversabilă. b) Pentru m=2m=2, calculați inversa matricei AA. c) Rezolvați ecuația matriceală AX=BAX = B, unde B=(1−1)B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.
Ușor#14MatriciDeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră matricea A=(1m2m3121m)A = \begin{pmatrix} 1 & m & 2 \\ m & 3 & 1 \\ 2 & 1 & m \end{pmatrix}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui mm pentru care matricea AA este inversabilă și, pentru m=1m=1, calculați inversa lui AA.
Ușor#15MatriciDeterminanți
Fie matricele A=(21−13)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} și B=(1−120)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}. Calculați ABAB, BABA, determinantul matricei A−BA - B, și rezolvați ecuația matriceală AX=BAX = B.

Și alte 37 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Accesează toate cele 52 probleme de Matrici cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.