Probleme de Matrici — Clasa a 11-a

Pregătire BAC M1Algebra • 509 probleme cu rezolvări complete
Teorie Matrici — Formule si exemple rezolvate

Matricile sunt tablouri rectangulare de numere cu operații specifice: adunare, înmulțire, inversare. Capitol fundamental pentru clasa a 11-a, esențial la BAC M1.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

52

probleme

Mediu

105

probleme

Greu

17

probleme

Grile de Matrici

335 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificați că pentru orice a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R}, (aI2+bJ)+(cI2+dJ)∈M(aI_2+bJ)+(cI_2+dJ) \in M și (aI2+bJ)(cI2+dJ)∈M(aI_2+bJ)(cI_2+dJ) \in M, calculând explicit și arătând că rezultatele sunt de forma aI2+bJaI_2+bJ.
22 puncte
Arătați că adunarea este asociativă și comutativă, iar matricea zero 0I2+0J0I_2+0J este element neutru; demonstrați existența opusului pentru fiecare element.
32 puncte
Demonstrați distributivitatea înmulțirii față de adunare, folosind proprietățile matricelor și calculând (aI2+bJ)[(cI2+dJ)+(eI2+fJ)](aI_2+bJ)[(cI_2+dJ)+(eI_2+fJ)] și analog.
42 puncte
Identificați elementul unitate ca I2I_2 (corespunzător lui a=1,b=0a=1, b=0) și verificați dacă fiecare element nenul are invers în MM; concluzionați că MM nu este corp deoarece există elemente nenule neinversabile, de exemplu JJ (cu a=0,b=1a=0, b=1).
52 puncte
Determinați condițiile pentru inversabilitate: aI2+bJaI_2+bJ este inversabil dacă și numai dacă a2+b2≠0a^2+b^2 \neq 0, și găsiți inversul ca aa2+b2I2−ba2+b2J\frac{a}{a^2+b^2}I_2 - \frac{b}{a^2+b^2}J.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

  1. 2 puncte: Verificați că (M,+)(M, +) este un grup abelian: adunarea este internă (pentru orice A,B∈MA, B \in M, A+B∈MA+B \in M), asociativă, are element neutru (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și fiecare element (ab0c)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} are opusul (−a−b0−c)\begin{pmatrix} -a & -b \\ 0 & -c \end{pmatrix}. Adunarea este comutativă.
  2. 2 puncte: Verificați că înmulțirea este internă în MM: pentru orice A=(a1b10c1),B=(a2b20c2)∈MA = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & c_1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ 0 & c_2 \end{pmatrix} \in M, A⋅B=(a1a2a1b2+b1c20c1c2)∈MA \cdot B = \begin{pmatrix} a_1 a_2 & a_1 b_2 + b_1 c_2 \\ 0 & c_1 c_2 \end{pmatrix} \in M.
  3. 2 puncte: Verificați că înmulțirea este asociativă: (A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) pentru orice A,B,C∈MA, B, C \in M, folosind proprietățile înmulțirii matricelor.
  4. 2 puncte: Verificați distributivitatea înmulțirii față de adunare: A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅CA \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C și (A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C pentru orice A,B,C∈MA, B, C \in M, prin calcul direct.
  5. 2 puncte: Concluzie: (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel (are și element unitate (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}). Nu este corp deoarece există elemente nenule care nu au invers multiplicativ; de exemplu, (0100)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} este nenul dar determinantul său este 0, deci nu este inversabil.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm că MM este închisă față de adunare și înmulțire. Pentru orice A,B∈MA, B \in M, cu A=(ab−ba)A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} și B=(cd−dc)B = \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix}, suma este A+B=(a+cb+d−(b+d)a+c)∈MA+B = \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -(b+d) & a+c \end{pmatrix} \in M, iar produsul este A⋅B=(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)∈MA \cdot B = \begin{pmatrix} ac-bd & ad+bc \\ -(ad+bc) & ac-bd \end{pmatrix} \in M. Matricea zero (0000)∈M\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in M este element neutru la adunare, iar adunarea este asociativă și comutativă, cu opusul în MM. Înmulțirea este asociativă și distributivă față de adunare, deci (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel.
23 puncte
Arătăm că orice element nenul din MM are invers. Fie A=(ab−ba)≠0A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \neq 0, deci a2+b2≠0a^2 + b^2 \neq 0. Inversa este A−1=1a2+b2(a−bba)A^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, care aparține lui MM deoarece aa2+b2,−ba2+b2∈R\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2} \in \mathbb{R}. Astfel, MM este un corp.
34 puncte
Rezolvăm X2=−IX^2 = -I în MM. Fie X=(xy−yx)X = \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix} cu x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}. Atunci X2=(x2−y22xy−2xyx2−y2)=(−100−1)X^2 = \begin{pmatrix} x^2 - y^2 & 2xy \\ -2xy & x^2 - y^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. Obținem sistemul: {x2−y2=−12xy=0\begin{cases} x^2 - y^2 = -1 \\ 2xy = 0 \end{cases}. Din 2xy=02xy=0, avem x=0x=0 sau y=0y=0. Dacă x=0x=0, atunci −y2=−1⇒y2=1⇒y=±1-y^2 = -1 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1. Dacă y=0y=0, atunci x2=−1x^2 = -1, imposibil în R\mathbb{R}. Deci soluțiile sunt X=(01−10)X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} și X=(0−110)X = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrierea sistemului de ecuații: 5x+8y+6z=1205x + 8y + 6z = 120, 7x+4y+9z=1507x + 4y + 9z = 150, 6x+10y+5z=1806x + 10y + 5z = 180, unde x,y,zx, y, z sunt numărul de piese P1, P2, P3.
24 puncte
Aflarea matricei inverse a coeficienților: calculul determinantului det⁡(A)=5(4⋅5−9⋅10)−8(7⋅5−9⋅6)+6(7⋅10−4⋅6)\det(A) = 5(4 \cdot 5 - 9 \cdot 10) - 8(7 \cdot 5 - 9 \cdot 6) + 6(7 \cdot 10 - 4 \cdot 6) și a inversei A−1=1det⁡(A)⋅adj(A)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A).
33 puncte
Rezolvarea sistemului: (xyz)=A−1(120150180)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 120 \\ 150 \\ 180 \end{pmatrix} și obținerea valorilor x,y,zx, y, z ca numere întregi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5MatriciProbabilitățiMatematică aplicată
Un studiu sociologic urmărește migrația populației între trei regiuni: urban, suburban, rural. Matricea tranziției anuale este T=(0.70.20.10.10.60.30.20.20.6)T = \begin{pmatrix} 0.7 & 0.2 & 0.1 \\ 0.1 & 0.6 & 0.3 \\ 0.2 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}, unde TijT_{ij} este proporția care se mută din regiunea jj în regiunea ii într-un an. Dacă la începutul anului, distribuția este (0.4,0.3,0.3)(0.4, 0.3, 0.3), determinați distribuția după doi ani folosind operații cu matrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Reprezentarea distribuției inițiale ca vector coloană V0=(0.40.30.3)V_0 = \begin{pmatrix} 0.4 \\ 0.3 \\ 0.3 \end{pmatrix}.
26 puncte
Calculul distribuției după un an: V1=T⋅V0=(0.7⋅0.4+0.2⋅0.3+0.1⋅0.30.1⋅0.4+0.6⋅0.3+0.3⋅0.30.2⋅0.4+0.2⋅0.3+0.6⋅0.3)V_1 = T \cdot V_0 = \begin{pmatrix} 0.7 \cdot 0.4 + 0.2 \cdot 0.3 + 0.1 \cdot 0.3 \\ 0.1 \cdot 0.4 + 0.6 \cdot 0.3 + 0.3 \cdot 0.3 \\ 0.2 \cdot 0.4 + 0.2 \cdot 0.3 + 0.6 \cdot 0.3 \end{pmatrix}, și după doi ani: V2=T⋅V1=T2⋅V0V_2 = T \cdot V_1 = T^2 \cdot V_0. Efectuarea calculelor și obținerea vectorului V2V_2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6MatriciMatematică aplicatăSisteme de Ecuații Liniare
O companie vinde două produse, P și Q. Matricea de tranziție a preferințelor clienților între luni este T=(0.70.20.30.8)T = \begin{pmatrix} 0.7 & 0.2 \\ 0.3 & 0.8 \end{pmatrix}, unde TijT_{ij} este probabilitatea ca un client care a cumpărat produsul ii (cu P pentru i=1i=1, Q pentru i=2i=2) să cumpere produsul jj luna următoare. În luna curentă, 60% dintre clienți cumpără P și 40% cumpără Q. Determinați procentul clienților pentru fiecare produs după 3 luni și găsiți distribuția stabilă pe termen lung.
Mediu#7MatriciMatematică aplicatăArii și volume
Un triunghi în plan are vârfurile la coordonatele A(1,2)A(1,2), B(3,4)B(3,4) și C(5,1)C(5,1). Acesta este supus unei rotații de 60∘60^\circ în jurul originii, dată de matricea R=(cos⁡60∘−sin⁡60∘sin⁡60∘cos⁡60∘)R = \begin{pmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{pmatrix}, urmată de o scalare cu factorii 2 pe axa Ox și 3 pe axa Oy, dată de matricea S=(2003)S = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}. Determinați noile coordonate ale vârfurilor triunghiului transformat și calculați aria acestuia.
Ușor#8MatriciMatematică aplicatăSisteme de Ecuații Liniare
În contextul aplicațiilor economice, se consideră matricea A = (231241)\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} care descrie consumul de resurse (în unități) pentru producerea a două produse. Vectorul b = (10080120)\begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 120 \end{pmatrix} reprezintă disponibilul total de resurse. Determinați vectorul producției x = (x1x2)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} astfel încât A x = b. Dacă sistemul are soluție, calculați profitul total P = 5x₁ + 3x₂. Dacă nu, discutați semnificația aplicată a incompatibilității sistemului.
Mediu#9MatriciMatematică aplicatăGeometrie Analitică
În grafica computerizată, transformările geometrice sunt modelate cu matrici. Fie triunghiul cu vârfurile A(1,2), B(3,4), C(5,1) în plan. Se aplică transformarea liniară dată de matricea T = (2−113)\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}. Determinați coordonatele vârfurilor transformate A', B', C'. Calculați aria triunghiului original și aria triunghiului transformat. Analizați relația dintre arii și determinantul matricei T.
Ușor#10MatriciDeterminanți
Se consideră matricea A=(21−13)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}. Calculați A−1A^{-1} și determinați matricea XX care satisface ecuația AX=BAX = B, unde B=(102−1)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}.

Și alte 164 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Accesează toate cele 509 probleme de Matrici cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 11-a

→Aplicații ale derivatelor
536 probleme
→Asimptote
401 probleme
→Continuitate
399 probleme
→Derivate
497 probleme
→Determinanți
564 probleme

Întrebări frecvente despre Matrici

Ce operații cu matrice apar la BAC M1?
La BAC apar: adunarea și înmulțirea matricilor, determinarea inversei, calculul determinanților, ridicarea la putere și rezolvarea ecuațiilor matriceale. Matricile apar la Subiectul I și II.
Cum se rezolvă ecuațiile matriceale la BAC?
Ecuațiile matriceale se rezolvă folosind inversa matricei: dacă AX = B, atunci X = A^(-1)·B. Pentru aceasta trebuie verificat că det(A) ≠ 0, apoi calculată inversa folosind formula cu adjuncta.
Ce dimensiuni au matricile la BAC?
La BAC M1 se lucrează de obicei cu matrice de dimensiune 2×2 sau 3×3. Operațiile cu matrice 3×3 necesită mai multă atenție la calcule, dar formulele sunt aceleași.

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.