Probleme de nivel mediu de Numere Complexe

Clasa a 10-a • 95 probleme de nivel mediu

Ușor (56)Greu (9)Toate
Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificăm proprietățile de corp. Adunarea: pentru a+bi,c+di∈Ka+bi, c+di \in K, suma este (a+c)+(b+d)i(a+c) + (b+d)i, cu a+c,b+d∈Qa+c, b+d \in \mathbb{Q}, deci în KK. Elementul neutru este 0=0+0i∈K0 = 0+0i \in K. Înmulțirea: (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i, cu ac−bd,ad+bc∈Qac-bd, ad+bc \in \mathbb{Q}, deci în KK. Elementul unitate este 1=1+0i∈K1 = 1+0i \in K. Adunarea și înmulțirea sunt asociative, comutative, și înmulțirea este distributivă față de adunare, deci (K,+,⋅)(K, +, \cdot) este un inel comutativ.
23 puncte
Arătăm că orice element nenul are invers în KK. Fie x=a+bi≠0x = a+bi \neq 0, cu a,b∈Qa,b \in \mathbb{Q}. Atunci x−1=a−bia2+b2=aa2+b2+−ba2+b2ix^{-1} = \frac{a-bi}{a^2+b^2} = \frac{a}{a^2+b^2} + \frac{-b}{a^2+b^2}i. Deoarece a2+b2∈Q∖{0}a^2+b^2 \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}, avem aa2+b2,−ba2+b2∈Q\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2} \in \mathbb{Q}, deci x−1∈Kx^{-1} \in K. Astfel, KK este un corp.
33 puncte
Rezolvăm x2=−1x^2 = -1 în KK. Fie x=a+bix = a+bi cu a,b∈Qa,b \in \mathbb{Q}. Atunci x2=(a2−b2)+2abi=−1=−1+0ix^2 = (a^2 - b^2) + 2abi = -1 = -1 + 0i. Obținem sistemul: {a2−b2=−12ab=0\begin{cases} a^2 - b^2 = -1 \\ 2ab = 0 \end{cases}. Din 2ab=02ab=0, avem a=0a=0 sau b=0b=0. Dacă a=0a=0, atunci −b2=−1⇒b2=1⇒b=±1∈Q-b^2 = -1 \Rightarrow b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm 1 \in \mathbb{Q}. Dacă b=0b=0, atunci a2=−1a^2 = -1, imposibil în Q\mathbb{Q}. Deci soluțiile sunt x=ix = i și x=−ix = -i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Numere ComplexeLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea M={(x,y)∣x,y∈R}M = \{ (x, y) \mid x, y \in \mathbb{R} \} se definește operația ∘\circ prin (x1,y1)∘(x2,y2)=(x1x2−y1y2,x1y2+y1x2)(x_1, y_1) \circ (x_2, y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2). a) Arătați că operația ∘\circ este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru. c) Demonstrați că pentru orice (x,y)∈M(x, y) \in M cu (x,y)≠(0,0)(x, y) \neq (0,0), există un invers. d) Rezolvați ecuația (a,b)∘(x,y)=(1,0)(a, b) \circ (x, y) = (1,0) pentru (a,b)≠(0,0)(a, b) \neq (0,0).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Comutativitatea: (x1,y1)∘(x2,y2)=(x1x2−y1y2,x1y2+y1x2)=(x2x1−y2y1,x2y1+y2x1)=(x2,y2)∘(x1,y1)(x_1, y_1) \circ (x_2, y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2) = (x_2 x_1 - y_2 y_1, x_2 y_1 + y_2 x_1) = (x_2, y_2) \circ (x_1, y_1).
22 puncte
Asociativitatea: Se calculează ((x1,y1)∘(x2,y2))∘(x3,y3)((x_1, y_1) \circ (x_2, y_2)) \circ (x_3, y_3) și (x1,y1)∘((x2,y2)∘(x3,y3))(x_1, y_1) \circ ((x_2, y_2) \circ (x_3, y_3)) și se arată că sunt egale; de exemplu, ((x1x2−y1y2,x1y2+y1x2))∘(x3,y3)=((x1x2−y1y2)x3−(x1y2+y1x2)y3,(x1x2−y1y2)y3+(x1y2+y1x2)x3)=(x1x2x3−y1y2x3−x1y2y3−y1x2y3,x1x2y3−y1y2y3+x1y2x3+y1x2x3)( (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2) ) \circ (x_3, y_3) = ( (x_1 x_2 - y_1 y_2)x_3 - (x_1 y_2 + y_1 x_2)y_3, (x_1 x_2 - y_1 y_2)y_3 + (x_1 y_2 + y_1 x_2)x_3 ) = (x_1 x_2 x_3 - y_1 y_2 x_3 - x_1 y_2 y_3 - y_1 x_2 y_3, x_1 x_2 y_3 - y_1 y_2 y_3 + x_1 y_2 x_3 + y_1 x_2 x_3). Similar, (x1,y1)∘((x2x3−y2y3,x2y3+y2x3))=(x1(x2x3−y2y3)−y1(x2y3+y2x3),x1(x2y3+y2x3)+y1(x2x3−y2y3))(x_1, y_1) \circ ( (x_2 x_3 - y_2 y_3, x_2 y_3 + y_2 x_3) ) = (x_1 (x_2 x_3 - y_2 y_3) - y_1 (x_2 y_3 + y_2 x_3), x_1 (x_2 y_3 + y_2 x_3) + y_1 (x_2 x_3 - y_2 y_3)), care se simplifică la aceeași expresie, dovedind asociativitatea.
32 puncte
Elementul neutru: Fie (e1,e2)(e_1, e_2) astfel încât (x,y)∘(e1,e2)=(x,y)(x, y) \circ (e_1, e_2) = (x, y). Rezultă sistemul: xe1−ye2=xx e_1 - y e_2 = x și xe2+ye1=yx e_2 + y e_1 = y. Pentru toți x,yx, y, soluția este (e1,e2)=(1,0)(e_1, e_2) = (1,0). Se verifică că (x,y)∘(1,0)=(x⋅1−y⋅0,x⋅0+y⋅1)=(x,y)(x, y) \circ (1,0) = (x \cdot 1 - y \cdot 0, x \cdot 0 + y \cdot 1) = (x, y).
43 puncte
Inversul: Pentru (x,y)≠(0,0)(x, y) \neq (0,0), fie (x′,y′)(x', y') inversul. Atunci (x,y)∘(x′,y′)=(1,0)(x, y) \circ (x', y') = (1,0). Rezultă sistemul: xx′−yy′=1x x' - y y' = 1 și xy′+yx′=0x y' + y x' = 0. Rezolvând, din a doua ecuație, y′=−yx′xy' = -\frac{y x'}{x} dacă x≠0x \neq 0, sau se tratează cazurile. General, se obține x′=xx2+y2x' = \frac{x}{x^2 + y^2}, y′=−yx2+y2y' = \frac{-y}{x^2 + y^2}, cu x2+y2≠0x^2 + y^2 \neq 0. Se verifică că (x,y)∘(xx2+y2,−yx2+y2)=(1,0)(x, y) \circ (\frac{x}{x^2 + y^2}, \frac{-y}{x^2 + y^2}) = (1,0).
52 puncte
Ecuația (a,b)∘(x,y)=(1,0)(a, b) \circ (x, y) = (1,0): Din definiție, avem ax−by=1a x - b y = 1 și ay+bx=0a y + b x = 0. Rezolvând sistemul, de exemplu din a doua ecuație y=−bxay = -\frac{b x}{a} dacă a≠0a \neq 0, și substituind în prima, se obține x=aa2+b2x = \frac{a}{a^2 + b^2}, y=−ba2+b2y = \frac{-b}{a^2 + b^2}, pentru (a,b)≠(0,0)(a, b) \neq (0,0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Numere Complexe
Rezolvați ecuația (1,1)⋅z2=(1,7)(1,1) \cdot z^2 = (1,7).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți ecuația în formă complexă: (1+i)⋅z2=1+7i(1 + i) \cdot z^2 = 1 + 7i.
22 puncte
Izolați z2z^2: z2=1+7i1+iz^2 = \frac{1 + 7i}{1 + i}.
33 puncte
Calculați 1+7i1+i\frac{1 + 7i}{1 + i}: Înmulțiți numărătorul și numitorul cu conjugatul numitorului, 1−i1 - i: (1+7i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−i+7i−7i21−i2\frac{(1 + 7i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - i + 7i - 7i^2}{1 - i^2}. Cum i2=−1i^2 = -1, obținem 1+6i+71+1=8+6i2=4+3i\frac{1 + 6i + 7}{1 + 1} = \frac{8 + 6i}{2} = 4 + 3i, deci z2=4+3iz^2 = 4 + 3i.
43 puncte
Rezolvați z2=4+3iz^2 = 4 + 3i: Fie z=x+iyz = x + iy, atunci z2=x2−y2+i(2xy)=4+3iz^2 = x^2 - y^2 + i(2xy) = 4 + 3i, de unde sistemul x2−y2=4x^2 - y^2 = 4 și 2xy=32xy = 3. Rezolvând, de exemplu din 2xy=32xy = 3 avem xy=32xy = \frac{3}{2} și substituind, găsim x2=52x^2 = \frac{5}{2} și y2=32y^2 = \frac{3}{2}, deci z=±(52+i32)z = \pm \left( \sqrt{\frac{5}{2}} + i\sqrt{\frac{3}{2}} \right) sau z=±(102+i62)z = \pm \left( \frac{\sqrt{10}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2} \right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Numere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Neliniare
Fie z0=(a,b)∈Cz_0 = (a,b) \in \mathbb{C}. Gâsiți z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât z2=z0z^2 = z_0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Notăm z=x+iyz = x + iy, cu x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}.
23 puncte
Scriem ecuația: (x+iy)2=a+ib⇒x2−y2+2ixy=a+ib(x + iy)^2 = a + ib \Rightarrow x^2 - y^2 + 2ixy = a + ib.
35 puncte
Egalăm părțile reale și imaginare: x2−y2=ax^2 - y^2 = a și 2xy=b2xy = b. Rezolvăm sistemul: dacă b≠0b \neq 0, din 2xy=b2xy = b exprimăm y=b/(2x)y = b/(2x) și substituim în prima ecuație, obținând x2−(b2/(4x2))=a⇒4x4−4ax2−b2=0x^2 - (b^2/(4x^2)) = a \Rightarrow 4x^4 - 4ax^2 - b^2 = 0. Soluțiile pentru x2x^2 sunt (a±a2+b2)/2(a \pm \sqrt{a^2 + b^2})/2. Pentru fiecare x2x^2 nenegativ, găsim xx și apoi y=b/(2x)y = b/(2x), obținând două soluții complexe (semn opus pentru xx dacă x≠0x \neq 0). Dacă b=0b = 0, atunci z0z_0 este real și ecuația devine x2−y2=ax^2 - y^2 = a și 2xy=02xy = 0. Dacă x=0x = 0, atunci y2=−ay^2 = -a, deci soluții pentru a≤0a \leq 0. Dacă y=0y = 0, atunci x2=ax^2 = a, deci soluții pentru a≥0a \geq 0. Total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Numere ComplexeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți numerele reale xx și yy astfel încât x−32+i+y−32−i=i\frac{x-3}{2+i} + \frac{y-3}{2-i} = i.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se simplifică fiecare fracție prin înmulțirea cu conjugatul: x−32+i=(x−3)(2−i)5\frac{x-3}{2+i} = \frac{(x-3)(2-i)}{5}, y−32−i=(y−3)(2+i)5\frac{y-3}{2-i} = \frac{(y-3)(2+i)}{5}.
22 puncte
Se scrie ecuația și se înmulțește cu 5: (x−3)(2−i)+(y−3)(2+i)=5i(x-3)(2-i) + (y-3)(2+i) = 5i.
33 puncte
Se extinde și se separă părțile reale și imaginare: (2x−6−i(x−3))+(2y−6+i(y−3))=2x+2y−12+i(y−x)=5i(2x - 6 - i(x-3)) + (2y - 6 + i(y-3)) = 2x + 2y - 12 + i(y-x) = 5i, deci partea reală: 2x+2y−12=02x+2y-12=0, adică x+y=6x+y=6, și partea imaginară: y−x=5y-x=5.
42 puncte
Se rezolvă sistemul: din x+y=6x+y=6 și y−x=5y-x=5, adunând se obține 2y=112y=11, deci y=112y=\frac{11}{2}. Apoi x=6−y=12x=6-y=\frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Numere ComplexeSisteme de Ecuații Neliniare
Găsiți numerele reale x și y astfel încât (4−3i)x2+(3+2i)xy=4y2−12x2+(3xy−2y2)i(4-3i)x^2 + (3+2i)xy = 4y^2 - \frac{1}{2}x^2 + (3xy - 2y^2)i.
Mediu#7Numere Complexe
Calculați (1+i32)6+(1−i72)6\left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^6 + \left( \frac{1-i\sqrt{7}}{2} \right)^6.
Mediu#8Numere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Rezolvați în C\mathbb{C} ecuația z2=3−iz^2 = 3 - i.
Mediu#9Numere Complexe
Găsiți toate numerele complexe z≠0z \neq 0 astfel încât z+1z∈Rz + \frac{1}{z} \in \mathbb{R}.
Mediu#10Numere Complexe
Arătați că E2=(19+7i9+7i)n+(20+5i7+5i)n∈RE_2 = \left( \frac{19+7i}{9+7i} \right)^n + \left( \frac{20+5i}{7+5i} \right)^n \in \mathbb{R}.
Mediu#11Numere ComplexeIdentități algebrice
Demonstrați identitatea: ∣z1+z2∣2+∣z2+z3∣2+∣z3+z1∣2=∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2+∣z1+z2+z3∣2|z_1 + z_2|^2 + |z_2 + z_3|^2 + |z_3 + z_1|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 + |z_1 + z_2 + z_3|^2.
Mediu#12Numere ComplexeIdentități algebrice
Demonstrați identitatea: ∣1+z1z2∣2+∣z1−z2∣2=(1+∣z1∣2)(1+∣z2∣2)|1 + z_1 z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = (1 + |z_1|^2)(1 + |z_2|^2).
Mediu#13Numere Complexe
Demonstrați identitatea: ∣1−z1z2∣2−∣z1−z2∣2=(1−∣z1∣2)(1−∣z2∣2)|1 - z_1 z_2|^2 - |z_1 - z_2|^2 = (1 - |z_1|^2)(1 - |z_2|^2).
Mediu#14Numere ComplexeIdentități algebrice
Demonstrați identitatea: ∣z1+z2+z3∣2+∣−z1+z2+z3∣2+∣z1−z2+z3∣2+∣z1+z2−z3∣2=4(∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2)|z_1 + z_2 + z_3|^2 + |-z_1 + z_2 + z_3|^2 + |z_1 - z_2 + z_3|^2 + |z_1 + z_2 - z_3|^2 = 4(|z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2).
Mediu#15Numere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți toate numerele complexe zz astfel încât 4z2+8∣z∣2=84z^2 + 8|z|^2 = 8.

Și alte 80 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Accesează toate cele 95 probleme de Numere Complexe cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.