Probleme de nivel mediu de Procente

Clasa a 10-a • 37 probleme de nivel mediu

Ușor (82)Toate
Mediu#1ProcenteAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Un pescar trebuia să navigheze 35 km până la locul întâlnirii, iar celălalt pescar trebuia să parcurgă cu 31 3/7% mai puțin. Pentru a ajunge în același timp ca al doilea pescar, primul pescar a plecat cu o jumătate de oră mai devreme și a navigat cu o viteză cu 2 km/h mai mare decât viteza celui de-al doilea. Găsiți viteza fiecărui pescar și timpul în care a parcurs fiecare distanța.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Calculați distanța a doua: 31 3/7% = 11/35, deci a doua distanță este 35⋅(1−11/35)=35⋅24/35=2435\cdot(1-11/35)=35\cdot24/35=24 km.
23 puncte
Notați viteza pescarului 2 cu vv și pescarului 1 cu v+2v+2. Relatia de timp (primul a plecat cu 0.5 h mai devreme) este 35v+2=24v+0.5\dfrac{35}{v+2}=\dfrac{24}{v}+0.5.
35 puncte
Rezolvați ecuația: 35v+2−24v=0.5⇒v2−20v+96=0\dfrac{35}{v+2}-\dfrac{24}{v}=0.5\Rightarrow v^2-20v+96=0, soluțiile sunt v=12v=12 sau v=8v=8. Astfel posibilitățile sunt: pescarul 2 are v=12 km/hv=12\ \mathrm{km/h} şi pescarul 1 14 km/h14\ \mathrm{km/h} (timpuri 22 h și 2.52.5 h), sau pescarul 2 are v=8 km/hv=8\ \mathrm{km/h} şi pescarul 1 10 km/h10\ \mathrm{km/h} (timpuri 33 h și 3.53.5 h).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2ProcenteDerivateMonotonie și convexitate
Un aliaj de cupru și cositor cu masa de 8 kg conține p% cupru. Ce cantitate dintr-un aliaj cu 40% cositor trebuie amestecată cu prima bucată pentru a obține un nou aliaj cu procentul minim de cupru, dacă masa celei de-a doua bucăți este de 2 kg?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Reprezentăm cantitatea adăugată prin x∈[0,2]x\in[0,2] kg. Prima bucată are cupru 8⋅p1008\cdot\dfrac{p}{100} kg. Aliajul cu 40% cositor are 60% cupru, deci conține 0.6x0{.}6x kg cupru. Fracțiunea de cupru în amestec este F(x)=8⋅p100+0.6x8+xF(x)=\dfrac{8\cdot\dfrac{p}{100}+0{.}6x}{8+x}.
24 puncte
Observăm monotonia în funcție de semnul lui 0.6−p1000{.}6-\dfrac{p}{100}. Dacă p>60p>60 atunci 0.6<p1000{.}6<\dfrac{p}{100}, deci F′(x)<0F'(x)<0 și fracțiunea scade când xx crește, astfel procentul minim se obține pentru x=2x=2. Dacă p<60p<60 atunci 0.6>p1000{.}6>\dfrac{p}{100}, deci F′(x)>0F'(x)>0 și fracțiunea crește cu xx, astfel procentul minim se obține pentru x=0x=0. Dacă p=60p=60 atunci F(x)F(x) este constantă și orice x∈[0,2]x\in[0,2] dă același procent.
32 puncte
Concluzie: dacă p>60p>60 se amestecă 22 kg; dacă p<60p<60 nu se adaugă nimic (00 kg); dacă p=60p=60 orice cantitate între 00 și 22 kg este acceptabilă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3ProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați greutatea și procentajul de argint dintr-un aliaj argint-cupru, știind că alierea acestuia cu 3 kg argint pur dă un aliaj care conține 90%90\% argint, iar alierea lui cu 2 kg dintr-un aliaj care conține 90%90\% argint dă un aliaj care conține 84%84\% argint.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notați cu xx masa inițială a aliajului și cu pp fracția de argint (în unități 1). Scrieți prima ecuație xp+3x+3=0.9\dfrac{xp+3}{x+3}=0.9.;
23 puncte
Scrieți a doua ecuație pentru alierea cu 2 kg din aliajul 90%90\%: xp+2⋅0.9x+2=0.84\dfrac{xp+2\cdot 0.9}{x+2}=0.84.;
32 puncte
Eliminați pp sau xx din cele două ecuații şi determinați p=0.8p=0.8 (adică 80%80\%).;
42 puncte
Determinați apoi x=3x=3 kg și formulați răspunsul: aliajul are 33 kg și conține 80%80\% argint.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4ProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Două soluții, din care prima conține 0,8 kg și a doua 0,6 kg de acid sulfuric uscat (aceasta fiind masa de acid din porțiunile turnate), au fost turnate împreună și s-au obținut 10 kg dintr‑o nouă soluție de acid sulfuric. Găsiți greutatea primei și a celei de-a doua soluții în amestec dacă se știe că prima soluție conține cu 10%10\% mai mult acid sulfuric uscat decât a doua.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notați cu m1m_1 și m2m_2 masele soluțiilor turnate (cu m1+m2=10m_1+m_2=10). Notați fracțiile de acid în soluțiile inițiale cu c1c_1 și c2c_2, având condiția c1=1.1 c2c_1=1.1\,c_2. Masa de acid din prima porțiune este c1m1=0.8c_1m_1=0.8, din a doua c2m2=0.6c_2m_2=0.6.;
23 puncte
Exprimați m1m_1 și m2m_2 în funcție de c2c_2: m1=0.81.1c2m_1=\dfrac{0.8}{1.1c_2}, m2=0.6c2m_2=\dfrac{0.6}{c_2} și impuneți m1+m2=10m_1+m_2=10, obținând 0.81.1c2+0.6c2=10\dfrac{0.8}{1.1c_2}+\dfrac{0.6}{c_2}=10.;
32 puncte
Calculați c2=0.81.1+0.610≈0.132727...c_2=\dfrac{\tfrac{0.8}{1.1}+0.6}{10}\approx 0.132727...;
42 puncte
Determinați masele m2=0.6c2≈4.52 kgm_2=\dfrac{0.6}{c_2}\approx 4.52\ \text{kg} și m1=10−m2≈5.48 kgm_1=10-m_2\approx 5.48\ \text{kg} și prezentați rezultatul numeric.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5ProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Sunt două butoaie cu petrol, având volumele 220 l și 180 l, cu prețuri diferite. S‑au turnat simultan cantități egale de petrol din cele două butoaie; petrolul scos din primul butoi s‑a turnat în al doilea, iar petrolul scos din al doilea s‑a turnat în primul. Atunci prețul petrolului în ambele butoaie a devenit același. Cât petrol (în litri) a fost turnat dintr‑un butoi în celălalt?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notăm cu p1p_1 și p2p_2 prețurile inițiale pe litru și cu xx cantitatea turnată. Scriem egalitatea prețurilor medii după operație: (220−x)p1+xp2220=(180−x)p2+xp1180\displaystyle \frac{(220-x)p_1 + x p_2}{220} = \frac{(180-x)p_2 + x p_1}{180}.
23 puncte
Simplificăm ecuația obținând (p1−p2)(180⋅220−400x)=0(p_1-p_2)(180\cdot220 -400x)=0, iar, deoarece p1≠p2p_1\neq p_2, rezultă 180⋅220−400x=0180\cdot220-400x=0.
33 puncte
Calculăm x=180⋅220400=99x=\dfrac{180\cdot220}{400}=99. Răspuns: 9999 l.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6ProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În două aliaje raportul cupru:zinc este 4:1 și 1:3. După aliarea a 10 kg din primul aliaj, 16 kg din al doilea și câteva kilograme de cupru pur, s‑a obținut un aliaj în care raportul cupru:zinc este 3:2. Determinați masa noului aliaj.
Mediu#7ProcenteAlgebră și Calcule cu Numere RealeMatematică aplicată
Sunt două aliaje de zinc, cupru și staniu. Primul aliaj conține 40% staniu, iar al doilea 26% cupru. Procentul de zinc este același în ambele aliaje. Amestecând 150 kg din primul aliaj cu 250 kg din al doilea se obține un nou aliaj care conține 30% zinc. Câți kilograme de staniu sunt în noul aliaj?
Mediu#8ProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Sunt două aliaje cu procente diferite de plumb. Primul cântărește 6 kg și al doilea 12 kg. Din fiecare s‑a tăiat o bucată de aceeași masă, iar bucata tăiată din fiecare a fost aliată cu partea rămasă din celălalt aliaj. Ca rezultat, procentul de plumb a devenit același în ambele aliaje. Care era masa fiecărei bucăți tăiate?
Mediu#9ProcenteLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați rata anuală a dobânzii (în procente) necesară pentru ca un capital să se tripleze în 10 ani, dacă dobânda se capitalizează anual. Utilizați logaritmi pentru rezolvare.
Mediu#10ProcenteMatematică financiară
Un investitor depune 1000 de lei într-un cont cu dobândă compusă. Rata anuală este de 4% pentru primii 5 ani, apoi crește la 6% pentru următorii ani. Determinați după câți ani suma din cont va depăși 2000 de lei. Exprimați răspunsul ca un număr întreg de ani.
Mediu#11ProcenteProgresii GeometriceMatematică financiară
Un investitor depune o sumă inițială SS lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%5\%, compusă anual. La sfârșitul fiecărui an, după ce dobânda a fost adăugată, investitorul retrage 10001000 de lei. După 33 ani, suma rămasă în cont este 00 lei. Determinați suma inițială SS.
Mediu#12ProcenteLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pentru un depozit bancar cu dobândă compusă anuală, se știe că după 4 ani suma acumulată este de 1464,1 u.m., iar după 6 ani este de 1771,561 u.m. Determinați rata anuală a dobânzii (exprimată în procente) și capitalul inițial, folosind logaritmi în calcule.
Mediu#13ProcenteSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se amestecă două soluții de acid: una cu concentrația de 40% acid și alta cu 60% acid. Se dorește obținerea a 15 litri de soluție cu concentrația de 50% acid. Înainte de amestecare, din soluția cu 40% acid se evaporă 10% din volum, iar din cea cu 60% acid se adaugă 2 litri de apă. Ce cantități inițiale (în litri) ale celor două soluții sunt necesare?
Mediu#14ProcenteLogaritmiMatematică financiară
O sumă de bani este depusă la o bancă cu dobândă compusă anuală. După 4 ani, suma a crescut cu 21.55%. Aflați rata anuală a dobânzii.
Mediu#15ProcenteSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un amestec de două soluții A și B are o concentrație de 30% alcool. Soluția A are 20% alcool, iar soluția B are 40% alcool. Dacă se amestecă volumele inițiale și se adaugă 10 litri din soluția A, concentrația devine 25%. Dacă se adaugă 10 litri din soluția B, concentrația devine 35%. Aflați volumele inițiale ale soluțiilor A și B.

Și alte 22 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Procente cu AI

Accesează toate cele 37 probleme de Procente cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.