BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2020 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} este egală cu 3030. Determinați a2a_2.

Rezolvare

1
3 puncte
a2=a1+a32a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}, deci 2a2=a1+a32a_2 = a_1 + a_3.
2
2 puncte
a1+a2+a3=3a2=30a_1 + a_2 + a_3 = 3a_2 = 30, deci a2=10a_2 = 10.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−6x+9f(x) = x^2 - 6x + 9. Arătați că (f∘f)(3)=9(f \circ f)(3) = 9.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează f(3)=9−18+9=0f(3) = 9 - 18 + 9 = 0.
2
3 puncte
(f∘f)(3)=f(f(3))=f(0)=9(f \circ f)(3) = f(f(3)) = f(0) = 9.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x−6)=6−log⁡2(x+6)\log_2(x - 6) = 6 - \log_2(x + 6).

Rezolvare

1
3 puncte
(x−6)(x+6)=26(x - 6)(x + 6) = 2^6, deci x2−36=64x^2 - 36 = 64, de unde x2−100=0x^2 - 100 = 0.
2
2 puncte
x=−10x = -10, care nu convine; x=10x = 10, care convine.
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii {0,1,2,3,4,5}\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra zecilor, fiind nenulă, se poate alege în 55 moduri.
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 55 moduri, deci se pot forma 5⋅5=255 \cdot 5 = 25 de numere.
Exercițiul 5
Se consideră triunghiul ABCABC, punctul DD mijlocul laturii ACAC și punctul EE mijlocul segmentului BDBD. Arătați că CE⃗=14CA⃗−12BC⃗\vec{CE} = \frac{1}{4}\vec{CA} - \frac{1}{2}\vec{BC}.

Rezolvare

1
3 puncte
CE⃗=12CD⃗+12CB⃗\vec{CE} = \frac{1}{2}\vec{CD} + \frac{1}{2}\vec{CB}.
2
2 puncte
Cum CD⃗=12CA⃗\vec{CD} = \frac{1}{2}\vec{CA}, obținem CE⃗=14CA⃗+12CB⃗=14CA⃗−12BC⃗\vec{CE} = \frac{1}{4}\vec{CA} + \frac{1}{2}\vec{CB} = \frac{1}{4}\vec{CA} - \frac{1}{2}\vec{BC}.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC cu AB=23AB = 2\sqrt{3}, A=π4A = \frac{\pi}{4} și B=5π12B = \frac{5\pi}{12}. Determinați raza cercului circumscris triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
3 puncte
C=π−(A+B)=π3C = \pi - (A + B) = \frac{\pi}{3}, deci sin⁡C=32\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}.
2
2 puncte
ABsin⁡C=2R\frac{AB}{\sin C} = 2R, deci R=2R = 2.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(a21a411−1a)A(a) = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ a & 4 & 1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+2y+z=4ax+4y+z=6x−y+az=1\begin{cases} ax + 2y + z = 4 \\ ax + 4y + z = 6 \\ x - y + az = 1 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=0\det(A(1)) = 0. b) Determinați numerele reale aa pentru care matricea A(a)A(a) are rangul 22. c) Determinați numărul real aa, știind că sistemul are soluție unică (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) și x02+y02+z02=3x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Se scrie A(1)=(1211411−11)A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} și se calculează det⁡(A(1))\det(A(1)).
2
3 puncte
Se dezvoltă determinantul: =4+(−1)+2−4−(−1)−2=0= 4 + (-1) + 2 - 4 - (-1) - 2 = 0, deci det⁡(A(1))=0\det(A(1)) = 0.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează det⁡(A(a))=2(a2−1)\det(A(a)) = 2(a^2 - 1), pentru orice număr real aa.
4
3 puncte
∣2141∣≠0\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \neq 0, deci matricea A(a)A(a) are rangul 22 dacă și numai dacă det⁡(A(a))=0\det(A(a)) = 0, de unde obținem a=−1a = -1 sau a=1a = 1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Sistemul are soluție unică (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0), deci a∈R∖{−1,1}a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} și soluția sistemului este (2a+1,1,2a+1)\left(\frac{2}{a+1}, 1, \frac{2}{a+1}\right).
6
2 puncte
(2a+1)2+1+(2a+1)2=3\left(\frac{2}{a+1}\right)^2 + 1 + \left(\frac{2}{a+1}\right)^2 = 3 și, cum a∈R∖{−1,1}a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, obținem a=−3a = -3.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−12(x+y)+34x * y = xy - \frac{1}{2}(x + y) + \frac{3}{4}. Legea de compoziție este asociativă și are elementul neutru e=32e = \frac{3}{2}. a) Demonstrați că x∗y=(x−12)(y−12)+12x * y = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(y - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}, pentru orice numere reale xx și yy. b) Determinați numerele reale nenule xx pentru care 1x∗x∗1x=x∗1x∗x\frac{1}{x} * x * \frac{1}{x} = x * \frac{1}{x} * x. c) Arătați că nu există numere întregi xx și yy, astfel încât xx să fie simetricul lui yy în raport cu legea de compoziție ‘∗*".

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∗y=xy−x2−y2+14+12x * y = xy - \frac{x}{2} - \frac{y}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}.
2
3 puncte
=x(y−12)−12(y−12)+12=(x−12)(y−12)+12= x\left(y - \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(y - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(y - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}, pentru orice numere reale xx și yy.
b)5 puncte
3
1 punct
b) (1x−12)(x−12)(1x−12)=(x−12)(1x−12)(x−12)\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right) = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right), de unde (1x−12)(1x−12−x+12)=0\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{2} - x + \frac{1}{2}\right) = 0.
4
1 punct
1x−12=0\frac{1}{x} - \frac{1}{2} = 0, deci x=2x = 2.
5
1 punct
x−12=0x - \frac{1}{2} = 0, deci x=12x = \frac{1}{2}.
6
2 puncte
1x−x=0\frac{1}{x} - x = 0, deci x=−1x = -1 sau x=1x = 1.
c)5 puncte
7
2 puncte
c) Presupunem că există xx și yy numere întregi, astfel încât xx să fie simetricul lui yy, deci x∗y=ex * y = e, de unde obținem (x−12)(y−12)+12=32\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(y - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
8
3 puncte
(x−12)(y−12)=1\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(y - \frac{1}{2}\right) = 1, deci (2x−1)(2y−1)=4(2x - 1)(2y - 1) = 4, ceea ce nu convine, deoarece xx și yy sunt numere întregi și 44 este număr par.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2−8x+8ln⁡x+12−8ln⁡2f(x) = x^2 - 8x + 8\ln x + 12 - 8\ln 2. a) Arătați că f′(x)=2(x−2)2xf'(x) = \frac{2(x-2)^2}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A(3,3)A(3, 3) și este paralelă cu tangenta la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=2x = 2, situat pe graficul funcției ff. c) Se consideră numerele reale aa, bb și cc astfel încât punctul M(a,b)M(a, b) este situat pe graficul funcției g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=x2−8ln⁡2+8ln⁡xg(x) = x^2 - 8\ln 2 + 8\ln x și punctul N(a,c)N(a, c) este situat pe graficul funcției h:(0,+∞)→Rh : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, h(x)=8x−12h(x) = 8x - 12. Demonstrați că b≥cb \geq c, pentru orice a∈[2,+∞)a \in [2, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=2x−8+8xf'(x) = 2x - 8 + \frac{8}{x}.
2
2 puncte
=2x2−8x+8x=2(x−2)2x= \frac{2x^2 - 8x + 8}{x} = \frac{2(x-2)^2}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Dreapta este paralelă cu tangenta la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=2x = 2, deci are panta egală cu f′(2)f'(2).
4
3 puncte
Cum f′(2)=0f'(2) = 0, ecuația dreptei este y=3y = 3.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci ff este crescătoare pe (0,+∞)(0, +\infty) și, cum f(2)=0f(2) = 0, obținem f(a)≥0f(a) \geq 0, pentru orice a∈[2,+∞)a \in [2, +\infty).
6
3 puncte
f(a)≥0⇒g(a)≥h(a)⇒b≥cf(a) \geq 0 \Rightarrow g(a) \geq h(a) \Rightarrow b \geq c, pentru orice a∈[2,+∞)a \in [2, +\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x2+4f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}. a) Arătați că ∫01(x2+4)f(x) dx=−113\displaystyle\int_0^1 (x^2 + 4) f(x)\,dx = -\frac{11}{3}. b) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff este concavă pe (−∞,0](-\infty, 0]. c) Pentru fiecare număr natural nn, se consideră In=∫12xnf(x) dxI_n = \displaystyle\int_1^2 x^n f(x)\,dx. Demonstrați că lim⁡n→+∞In=−∞\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = -\infty.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01(x2+4)f(x) dx=∫01(x2−4) dx=(x33−4x)∣01\int_0^1 (x^2 + 4) f(x)\,dx = \int_0^1 (x^2 - 4)\,dx = \left(\frac{x^3}{3} - 4x\right)\Big|_0^1.
2
2 puncte
Se calculează: =13−4=−113= \frac{1}{3} - 4 = -\frac{11}{3}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F′(x)=f(x)=x2−4x2+4F'(x) = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}, F′′(x)=f′(x)=16x(x2+4)2F''(x) = f'(x) = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}, unde FF este o primitivă a lui ff.
4
2 puncte
F′′(x)≤0F''(x) \leq 0, pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0], deci funcția FF este concavă pe (−∞,0](-\infty, 0].
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∈[1,2]⇒xn(x2−4)≤0x \in [1, 2] \Rightarrow x^n(x^2 - 4) \leq 0 și 1x2+4≥18\frac{1}{x^2 + 4} \geq \frac{1}{8}, deci xnf(x)≤18xn(x2−4)x^n f(x) \leq \frac{1}{8} x^n(x^2 - 4).
6
2 puncte
In≤∫1218xn(x2−4) dx=18(xn+3n+3−4xn+1n+1)∣12=18(2n+4(n+3)(n+1)−1n+3−4n+1)I_n \leq \int_1^2 \frac{1}{8} x^n(x^2 - 4)\,dx = \frac{1}{8}\left(\frac{x^{n+3}}{n+3} - \frac{4x^{n+1}}{n+1}\right)\Big|_1^2 = \frac{1}{8}\left(\frac{2^{n+4}}{(n+3)(n+1)} - \frac{1}{n+3} - \frac{4}{n+1}\right).
7
1 punct
Cum lim⁡n→+∞2n+4(n+3)(n+1)=+∞\lim_{n \to +\infty} \frac{2^{n+4}}{(n+3)(n+1)} = +\infty, obținem lim⁡n→+∞In=−∞\lim_{n \to +\infty} I_n = -\infty.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2020 — Tehnologic

Următor →

Model 2020 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac