BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2022 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numerele complexe z1=1−2iz_1 = 1 - 2i și z2=2+iz_2 = 2 + i. Arătați că (z1+i)(z2−1)=2(z_1 + i)(z_2 - 1) = 2.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează z1+i=1−2i+i=1−iz_1 + i = 1 - 2i + i = 1 - i și z2−1=2+i−1=1+iz_2 - 1 = 2 + i - 1 = 1 + i.
2
3 puncte
Se obține (z1+i)(z2−1)=(1−i)(1+i)=1−i2=1+1=2(z_1 + i)(z_2 - 1) = (1 - i)(1 + i) = 1 - i^2 = 1 + 1 = 2.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+4x+mf(x) = x^2 + 4x + m, unde mm este număr real. Determinați valorile reale ale lui mm pentru care f(x)>0f(x) > 0, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
3 puncte
Condiția f(x)>0f(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} este echivalentă cu Δ<0\Delta < 0. Cum Δ=16−4m\Delta = 16 - 4m, obținem 16−4m<016 - 4m < 0.
2
2 puncte
Deci m∈(4,+∞)m \in (4, +\infty).
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1+2log⁡2x−2=log⁡2x1 + 2\log_2 \sqrt{x - 2} = \log_2 x.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie 1+log⁡2(x−2)=log⁡2x1 + \log_2(x - 2) = \log_2 x, adică log⁡2xx−2=1\log_2 \frac{x}{x - 2} = 1, de unde xx−2=2\frac{x}{x - 2} = 2.
2
2 puncte
Se obține x=2(x−2)=2x−4x = 2(x - 2) = 2x - 4, deci x=4x = 4, care convine.
Exercițiul 4
Se consideră mulțimea AA, a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea AA, acesta să aibă exact doi multipli în mulțimea AA.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile.
2
3 puncte
Numărul nn din mulțimea AA are exact doi multipli în AA dacă 2n≤99<3n2n \le 99 < 3n, de unde n≥34n \ge 34 și n≤49n \le 49. Deci sunt 1616 cazuri favorabile și p=1690=845p = \frac{16}{90} = \frac{8}{45}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−2,−2)A(-2, -2), B(3,1)B(3, 1) și M(2,4)M(2, 4). Determinați coordonatele punctului NN, știind că patrulaterul ABMNABMN este paralelogram.

Rezolvare

1
2 puncte
Fie P(0,1)P(0, 1) mijlocul segmentului AMAM.
2
3 puncte
Segmentele AMAM și BNBN au același mijloc (condiția de paralelogram), de unde N(−3,1)N(-3, 1).
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, în care sin⁡(A+B)+cos⁡C=1\sin(A + B) + \cos C = 1. Arătați că triunghiul ABCABC este dreptunghic.

Rezolvare

1
2 puncte
Deoarece A+B=π−CA + B = \pi - C, obținem sin⁡(π−C)+cos⁡C=1\sin(\pi - C) + \cos C = 1, adică sin⁡C+cos⁡C=1\sin C + \cos C = 1.
2
3 puncte
Ridicând la pătrat: sin⁡2C+2sin⁡Ccos⁡C+cos⁡2C=1\sin^2 C + 2\sin C \cos C + \cos^2 C = 1, deci 1+sin⁡2C=11 + \sin 2C = 1, adică sin⁡2C=0\sin 2C = 0. Cum C∈(0,π)C \in (0, \pi), obținem C=π2C = \frac{\pi}{2}. Deci triunghiul ABCABC este dreptunghic.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(13a21−1a31)A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 3 & a \\ 2 & 1 & -1 \\ a & 3 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+3y+az=22x+y−z=−1ax+3y+z=1\begin{cases} x + 3y + az = 2 \\ 2x + y - z = -1 \\ ax + 3y + z = 1 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=0\det(A(1)) = 0. b) Arătați că B(a)⋅B(a)⋅B(a)=a3B(1)B(a) \cdot B(a) \cdot B(a) = a^3 B(1), pentru orice număr real aa, unde B(a)=A(a)−A(0)B(a) = A(a) - A(0). c) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci x0y0+y0z0+z0x0≤0x_0 y_0 + y_0 z_0 + z_0 x_0 \le 0, pentru orice soluție (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) a sistemului de ecuații, cu x0x_0, y0y_0 și z0z_0 numere reale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează det⁡(A(1))=∣13121−1131∣=1⋅1⋅1+3⋅(−1)⋅1+1⋅2⋅3−1⋅1⋅1−3⋅2⋅1−1⋅(−1)⋅3\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) \cdot 3.
2
2 puncte
Se obține =1−3+6−1−6+3=0= 1 - 3 + 6 - 1 - 6 + 3 = 0.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează B(a)=A(a)−A(0)=(00a000a00)B(a) = A(a) - A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 \end{pmatrix} și B(a)⋅B(a)=(a20000000a2)B(a) \cdot B(a) = \begin{pmatrix} a^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 \end{pmatrix}, pentru orice număr real aa.
4
3 puncte
Se obține B(a)⋅B(a)⋅B(a)=(00a3000a300)=a3(001000100)=a3B(1)B(a) \cdot B(a) \cdot B(a) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a^3 \\ 0 & 0 & 0 \\ a^3 & 0 & 0 \end{pmatrix} = a^3 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = a^3 B(1), pentru orice număr real aa.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) det⁡(A(a))=0\det(A(a)) = 0 dă −a2+3a−2=0-a^2 + 3a - 2 = 0, de unde a=1a = 1 (sistemul incompatibil, nu convine) sau a=2a = 2 (sistemul are o infinitate de soluții).
6
3 puncte
Pentru a=2a = 2, soluția sistemului este (α−1,−α+1,α)(\alpha - 1, -\alpha + 1, \alpha), α∈R\alpha \in \mathbb{R}. Atunci x0y0+y0z0+z0x0=(α−1)(−α+1)+(−α+1)α+α(α−1)=−(α−1)2≤0x_0 y_0 + y_0 z_0 + z_0 x_0 = (\alpha - 1)(-\alpha + 1) + (-\alpha + 1)\alpha + \alpha(\alpha - 1) = -(\alpha - 1)^2 \le 0.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție z1∗z2=z1+z24⋅∣z1z2∣+1z_1 * z_2 = \frac{z_1 + z_2}{4 \cdot |z_1 z_2| + 1}. a) Arătați că (−1)∗2=19(-1) * 2 = \frac{1}{9}. b) Arătați că e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”. c) Demonstrați că există cel puțin trei numere complexe distincte și nenule care verifică egalitatea ∣z∗z∣=∣z∣|z * z| = |z|.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează (−1)∗2=−1+24⋅∣−1⋅2∣+1=14⋅2+1(-1) * 2 = \frac{-1 + 2}{4 \cdot |-1 \cdot 2| + 1} = \frac{1}{4 \cdot 2 + 1}.
2
2 puncte
Se obține =19= \frac{1}{9}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează z∗0=z+04⋅∣z⋅0∣+1=z1=zz * 0 = \frac{z + 0}{4 \cdot |z \cdot 0| + 1} = \frac{z}{1} = z, pentru orice număr complex zz.
4
3 puncte
Analogic, 0∗z=z0 * z = z pentru orice z∈Cz \in \mathbb{C}, deci e=0e = 0 este elementul neutru.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează z∗z=2z4∣z2∣+1=2z4∣z∣2+1z * z = \frac{2z}{4|z^2| + 1} = \frac{2z}{4|z|^2 + 1}, deci ∣z∗z∣=2∣z∣4∣z∣2+1|z * z| = \frac{2|z|}{4|z|^2 + 1}.
6
3 puncte
Condiția ∣z∗z∣=∣z∣|z * z| = |z| cu z≠0z \ne 0 dă 24∣z∣2+1=1\frac{2}{4|z|^2 + 1} = 1, adică 4∣z∣2+1=24|z|^2 + 1 = 2, deci ∣z∣=12|z| = \frac{1}{2}. De exemplu, z1=12z_1 = \frac{1}{2}, z2=−12z_2 = -\frac{1}{2} și z3=i2z_3 = \frac{i}{2} sunt trei numere complexe distincte, nenule, care verifică egalitatea.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x4+16xf(x) = \frac{\sqrt{x^4 + 16}}{x}. a) Arătați că f′(x)=(x2−4)(x2+4)x2x4+16f'(x) = \frac{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}{x^2 \sqrt{x^4 + 16}}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Determinați valorile reale ale lui mm pentru care ecuația f(x)+f(4x)=mf(x) + f\left(\frac{4}{x}\right) = m are exact două soluții.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se derivează f′(x)=4x32x4+16⋅x−x4+16x2=2x4−x4−16x2x4+16=x4−16x2x4+16f'(x) = \frac{\frac{4x^3}{2\sqrt{x^4 + 16}} \cdot x - \sqrt{x^4 + 16}}{x^2} = \frac{2x^4 - x^4 - 16}{x^2 \sqrt{x^4 + 16}} = \frac{x^4 - 16}{x^2 \sqrt{x^4 + 16}}.
2
2 puncte
Se factorizează: f′(x)=(x2−4)(x2+4)x2x4+16f'(x) = \frac{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}{x^2 \sqrt{x^4 + 16}}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x4+16x2=lim⁡x→+∞1+16x4=1\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^4 + 16}}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \frac{16}{x^4}} = 1.
4
3 puncte
Se calculează lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞x4+16−x2x=lim⁡x→+∞16x(x4+16+x2)=0\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^4 + 16} - x^2}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{16}{x(\sqrt{x^4 + 16} + x^2)} = 0. Deci dreapta y=xy = x este asimptota oblică spre +∞+\infty.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x=2f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2; f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,2)x \in (0, 2) și f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty).
6
3 puncte
Se consideră g(x)=f(x)+f(4x)=2f(x)g(x) = f(x) + f\left(\frac{4}{x}\right) = 2f(x) (deoarece f(x)=f(4x)f(x) = f\left(\frac{4}{x}\right)). Funcția gg este strict descrescătoare pe (0,2)(0, 2) și strict crescătoare pe (2,+∞)(2, +\infty), cu g(2)=42g(2) = 4\sqrt{2} și lim⁡x→0g(x)=lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty. Ecuația g(x)=mg(x) = m are exact două soluții pentru m∈(42,+∞)m \in (4\sqrt{2}, +\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1exf(x) = \frac{x^2 + 1}{e^x}. a) Arătați că ∫03exf(x) dx=12\displaystyle\int_0^3 e^x f(x)\,dx = 12. b) Arătați că orice primitivă GG a funcției g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)} este convexă. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫01x3exf(x) dx=a−23\displaystyle\int_0^1 \frac{x^3}{\sqrt{e^x f(x)}}\,dx = \frac{a - \sqrt{2}}{3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫03exf(x) dx=∫03(x2+1) dx=(x33+x)∣03\int_0^3 e^x f(x)\,dx = \int_0^3 (x^2 + 1)\,dx = \left(\frac{x^3}{3} + x\right)\Big|_0^3.
2
2 puncte
Se obține =273+3=9+3=12= \frac{27}{3} + 3 = 9 + 3 = 12.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) GG este primitivă a funcției gg, deci G′(x)=g(x)G'(x) = g(x) și G′′(x)=g′(x)G''(x) = g'(x).
4
3 puncte
Se calculează g(x)=exx2+1g(x) = \frac{e^x}{x^2 + 1}, deci g′(x)=ex(x2−2x+1)(x2+1)2=ex(x−1)2(x2+1)2≥0g'(x) = \frac{e^x(x^2 - 2x + 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x(x - 1)^2}{(x^2 + 1)^2} \ge 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Deci funcția GG este convexă.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează exf(x)=x2+1\sqrt{e^x f(x)} = \sqrt{x^2 + 1}. Deci ∫01x3x2+1 dx=∫01x3+x−xx2+1 dx=12∫01(x2+1)′⋅(x2+1−1x2+1)dx\int_0^1 \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}}\,dx = \int_0^1 \frac{x^3 + x - x}{\sqrt{x^2 + 1}}\,dx = \frac{1}{2}\int_0^1 (x^2 + 1)' \cdot \left(\sqrt{x^2 + 1} - \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)dx.
6
2 puncte
Se obține 12(2(x2+1)x2+13−2x2+1)∣01=2−23\frac{1}{2}\left(\frac{2(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}{3} - 2\sqrt{x^2 + 1}\right)\Big|_0^1 = \frac{2 - \sqrt{2}}{3}, deci a=2a = 2.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă Rezervă 2023 — Tehnologic

Următor →

Simulare 2022 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac