BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă Rezervă 2023 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 4⋅(1−45)+15=14 \cdot \left(1 - \dfrac{4}{5}\right) + \dfrac{1}{5} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
4⋅(1−45)+15=4⋅15+154 \cdot \left(1 - \dfrac{4}{5}\right) + \dfrac{1}{5} = 4 \cdot \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5}
2
2 puncte
=45+15=1= \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5} = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2. Arătați că f(0)⋅f(1)=10f(0) \cdot f(1) = 10.

Rezolvare

1
2 puncte
f(0)=2f(0) = 2
2
3 puncte
f(1)=5f(1) = 5, deci f(0)⋅f(1)=2⋅5=10f(0) \cdot f(1) = 2 \cdot 5 = 10
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32x−3=3x3^{2x-3} = 3^x.

Rezolvare

1
3 puncte
2x−3=x2x - 3 = x
2
2 puncte
x=3x = 3
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, acesta să verifice inegalitatea n2≤23n^2 \leq 23.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile
2
3 puncte
Numerele nn din mulțimea AA pentru care n2≤23n^2 \leq 23 sunt 00, 11, 22, 33 și 44, deci sunt 55 cazuri favorabile, de unde obținem p=510=12p = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,3)A(0, 3) și B(4,0)B(4, 0). Arătați că perimetrul triunghiului OABOAB este egal cu 1212.

Rezolvare

1
2 puncte
OA=3OA = 3, OB=4OB = 4
2
3 puncte
AB=5AB = 5, deci P△OAB=3+4+5=12P_{\triangle OAB} = 3 + 4 + 5 = 12
Exercițiul 6
Arătați că (1+2cos⁡60°)⋅sin⁡30°=1(1 + 2\cos 60°) \cdot \sin 30° = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
cos⁡60°=12\cos 60° = \dfrac{1}{2}, sin⁡30°=12\sin 30° = \dfrac{1}{2}
2
3 puncte
(1+2cos⁡60°)⋅sin⁡30°=(1+2⋅12)⋅12=2⋅12=1(1 + 2\cos 60°) \cdot \sin 30° = \left(1 + 2 \cdot \dfrac{1}{2}\right) \cdot \dfrac{1}{2} = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1013)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} și B(x)=(x0−1x−2)B(x) = \begin{pmatrix} x & 0 \\ -1 & x - 2 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=3\det A = 3. b) Arătați că B(8)−3B(2)=2AB(8) - 3B(2) = 2A. c) Determinați numărul real xx pentru care A⋅B(x)=B(x)A \cdot B(x) = B(x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣1013∣=1⋅3−0⋅1\det A = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 0 \cdot 1
2
2 puncte
=3−0=3= 3 - 0 = 3
b)5 puncte
3
3 puncte
b) B(8)−3B(2)=(80−16)−3(20−10)=(2026)B(8) - 3B(2) = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ -1 & 6 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}
4
2 puncte
=2(1013)=2A= 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 2A
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A⋅B(x)=(x0x−33x−6)A \cdot B(x) = \begin{pmatrix} x & 0 \\ x - 3 & 3x - 6 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx
6
2 puncte
(x0x−33x−6)=(x0−1x−2)\begin{pmatrix} x & 0 \\ x - 3 & 3x - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & 0 \\ -1 & x - 2 \end{pmatrix}, de unde obținem x=2x = 2
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+mf = X^3 - 2X^2 - 2X + m, unde mm este număr real. a) Pentru m=3m = 3, arătați că f(1)=0f(1) = 0. b) Determinați numărul real mm pentru care x1x2+x2x3+x3x1+x1x2x3=1x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 + x_1x_2x_3 = 1, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Determinați numărul real mm pentru care polinomul ff este divizibil cu polinomul X+2X + 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f=X3−2X2−2X+3f = X^3 - 2X^2 - 2X + 3, deci f(1)=13−2⋅12−2⋅1+3f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 3
2
2 puncte
=1−2−2+3=0= 1 - 2 - 2 + 3 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x1x2+x2x3+x3x1=−2x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = -2 și x1x2x3=−mx_1x_2x_3 = -m, deci x1x2+x2x3+x3x1+x1x2x3=−2−mx_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 + x_1x_2x_3 = -2 - m
4
2 puncte
−2−m=1-2 - m = 1, de unde obținem m=−3m = -3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f(−2)=m−12f(-2) = m - 12, pentru orice număr real mm
6
3 puncte
m−12=0m - 12 = 0, de unde obținem m=12m = 12

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3xx2+1f(x) = \dfrac{3x}{x^2 + 1}. a) Arătați că f′(x)=3(1−x2)(x2+1)2f'(x) = \dfrac{3(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=3(x2+1)−3x⋅2x(x2+1)2f'(x) = \dfrac{3(x^2 + 1) - 3x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
2
2 puncte
=3−3x2(x2+1)2=3(1−x2)(x2+1)2= \dfrac{3 - 3x^2}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{3(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞3xx2+1=lim⁡x→+∞3x(1+1x2)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3}{x\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)} = 0
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0 este asimptota orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x=−1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1 sau x=1x = 1
6
3 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(−∞,−1]x \in (-\infty, -1], deci ff este descrescătoare pe (−∞,−1](-\infty, -1]; f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1], deci ff este crescătoare pe [−1,1][-1, 1]; f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), deci ff este descrescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x2+1f(x) = 2x^2 + 1. a) Arătați că ∫01(f(x)−1)dx=23\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - 1\right) dx = \dfrac{2}{3}. b) Arătați că ∫024xf(x) dx=2ln⁡3\displaystyle\int_0^2 \dfrac{4x}{f(x)}\, dx = 2\ln 3. c) Determinați numărul natural nn, știind că ∫1ef ⁣(1x)⋅ln⁡x dx=f(n)−4e\displaystyle\int_1^e f\!\left(\dfrac{1}{x}\right) \cdot \ln x\, dx = f(n) - \dfrac{4}{e}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01(f(x)−1)dx=∫012x2 dx=2x33∣01\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - 1\right) dx = \int_0^1 2x^2\, dx = \left.\dfrac{2x^3}{3}\right|_0^1
2
2 puncte
=2⋅133−2⋅033=23= \dfrac{2 \cdot 1^3}{3} - \dfrac{2 \cdot 0^3}{3} = \dfrac{2}{3}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫024xf(x) dx=∫024x2x2+1 dx=∫02(2x2+1)′2x2+1 dx=ln⁡(2x2+1)∣02\displaystyle\int_0^2 \dfrac{4x}{f(x)}\, dx = \int_0^2 \dfrac{4x}{2x^2 + 1}\, dx = \int_0^2 \dfrac{(2x^2 + 1)'}{2x^2 + 1}\, dx = \left.\ln(2x^2 + 1)\right|_0^2
4
2 puncte
=ln⁡9−ln⁡1=2ln⁡3= \ln 9 - \ln 1 = 2\ln 3
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫1ef ⁣(1x)⋅ln⁡x dx=∫1e(2x2+1)⋅ln⁡x dx=∫1e(−2x+x)′⋅ln⁡x dx=(−2x+x)⋅ln⁡x∣1e−∫1e(−2x+x)⋅1x dx=3−4e\displaystyle\int_1^e f\!\left(\dfrac{1}{x}\right) \cdot \ln x\, dx = \int_1^e \left(\dfrac{2}{x^2} + 1\right) \cdot \ln x\, dx = \int_1^e \left(-\dfrac{2}{x} + x\right)' \cdot \ln x\, dx = \left.\left(-\dfrac{2}{x} + x\right) \cdot \ln x\right|_1^e - \int_1^e \left(-\dfrac{2}{x} + x\right) \cdot \dfrac{1}{x}\, dx = 3 - \dfrac{4}{e}
6
2 puncte
3−4e=2n2+1−4e3 - \dfrac{4}{e} = 2n^2 + 1 - \dfrac{4}{e}, și cum nn este număr natural, obținem n=1n = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2023 — Tehnologic

Următor →

Simulare 2022 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac