BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2022 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați termenul b4b_4 al progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}, știind că b1=2b_1 = \sqrt{2} și b2=4b_2 = 4.

Rezolvare

1
2 puncte
q=b2b1=22q = \frac{b_2}{b_1} = 2\sqrt{2}, unde qq este rația progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}.
2
3 puncte
b4=b1⋅q3=2⋅(22)3=32b_4 = b_1 \cdot q^3 = \sqrt{2} \cdot (2\sqrt{2})^3 = 32.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=mx2−2x+1f(x) = mx^2 - 2x + 1, unde mm este număr real nenul. Determinați numărul real nenul mm pentru care axa OxOx este tangentă graficului funcției ff.

Rezolvare

1
3 puncte
Axa OxOx este tangentă graficului funcției f⇔Δ=0⇔4−4m=0f \Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow 4 - 4m = 0.
2
2 puncte
m=1m = 1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+2−3x−6⋅3x−1=63^{x+2} - 3^x - 6 \cdot 3^{x-1} = 6.

Rezolvare

1
3 puncte
3x−1(33−3−6)=6⇔3x−1⋅18=6⇔3x−1=133^{x-1}(3^3 - 3 - 6) = 6 \Leftrightarrow 3^{x-1} \cdot 18 = 6 \Leftrightarrow 3^{x-1} = \frac{1}{3}.
2
2 puncte
x−1=−1x - 1 = -1, deci x=0x = 0.
Exercițiul 4
Se consideră mulțimea AA, a numerelor naturale de două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea AA, numărul 2n−602n - 60 să aparțină mulțimii AA.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile.
2
3 puncte
Numărul 2n−602n - 60 aparține mulțimii AA dacă 10≤2n−60≤9910 \leq 2n - 60 \leq 99, deci sunt 4545 de cazuri favorabile, de unde obținem p=4590=12p = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−1,4)A(-1, 4), B(5,2)B(5, 2) și CC, mijlocul segmentului ABAB. Determinați ecuația dreptei dd care trece prin punctul CC și este perpendiculară pe dreapta ABAB.

Rezolvare

1
2 puncte
mAB=−13m_{AB} = -\frac{1}{3} și, cum d⊥ABd \perp AB, obținem md=3m_d = 3.
2
3 puncte
C(2,3)C(2, 3) și, cum C∈dC \in d, obținem că ecuația dreptei dd este y−3=3(x−2)y - 3 = 3(x - 2), adică y=3x−3y = 3x - 3.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul isoscel ABCABC, cu măsura unghiului AA egală cu 120°120° și AB=6AB = 6. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 939\sqrt{3}.

Rezolvare

1
2 puncte
AC=AB=6AC = AB = 6.
2
3 puncte
A△ABC=AB⋅AC⋅sin⁡120°2=6⋅6⋅322=93\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot AC \cdot \sin 120°}{2} = \frac{6 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = 9\sqrt{3}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, A=(01−10)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} și B(x)=xI2+iAB(x) = xI_2 + iA, unde xx este număr real și i2=−1i^2 = -1. a) Arătați că det⁡A=1\det A = 1. b) Determinați numărul real xx pentru care B(3)⋅B(5)=8B(x)B(3) \cdot B(5) = 8B(x). c) Determinați perechile (m,n)(m, n) de numere întregi pentru care matricea B(m)+iB(n)B(m) + iB(n) nu este inversabilă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣01−10∣=0⋅0−1⋅(−1)\det A = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1).
2
2 puncte
=0+1=1= 0 + 1 = 1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) B(3)⋅B(5)=(3I2+iA)(5I2+iA)=15I2+8iA+i2A⋅A=16I2+8iAB(3) \cdot B(5) = (3I_2 + iA)(5I_2 + iA) = 15I_2 + 8iA + i^2 A \cdot A = 16I_2 + 8iA.
4
2 puncte
=8(2I2+iA)=8B(2)= 8(2I_2 + iA) = 8B(2), deci x=2x = 2.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) B(m)+iB(n)=(m+ini−1−i+1m+in)⇒det⁡(B(m)+iB(n))=(m+in)2−2iB(m) + iB(n) = \begin{pmatrix} m + in & i - 1 \\ -i + 1 & m + in \end{pmatrix} \Rightarrow \det(B(m) + iB(n)) = (m + in)^2 - 2i, unde m,n∈Zm, n \in \mathbb{Z}.
6
3 puncte
B(m)+iB(n)B(m) + iB(n) nu este inversabilă, deci det⁡(B(m)+iB(n))=0⇒m2−n2+2(mn−1)i=0\det(B(m) + iB(n)) = 0 \Rightarrow m^2 - n^2 + 2(mn - 1)i = 0 și, cum mm și nn sunt numere întregi, obținem perechile (−1,−1)(-1, -1) și (1,1)(1, 1).
Exercițiul 2
Pe mulțimea M=[1,+∞)M = [1, +\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy−(x−1)(y−1)x * y = xy - \sqrt{(x-1)(y-1)}. a) Arătați că 2∗5=82 * 5 = 8. b) Arătați că e=1e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție ‘∗*". c) Demonstrați că (nx)∗y≥x(n∗y)(nx) * y \geq x(n * y), pentru orice x,y∈Mx, y \in M și orice număr natural nn, n≥2n \geq 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 2∗5=2⋅5−(2−1)(5−1)2 * 5 = 2 \cdot 5 - \sqrt{(2-1)(5-1)}.
2
2 puncte
=10−4=8= 10 - \sqrt{4} = 8.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗1=x⋅1−(x−1)(1−1)=xx * 1 = x \cdot 1 - \sqrt{(x-1)(1-1)} = x, pentru orice x∈Mx \in M.
4
3 puncte
1∗x=1⋅x−(1−1)(x−1)=x1 * x = 1 \cdot x - \sqrt{(1-1)(x-1)} = x, pentru orice x∈Mx \in M, deci e=1e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție ‘∗*".
c)5 puncte
5
2 puncte
c) ((nx)∗y)−x(n∗y)=x(n−1)(y−1)−(nx−1)(y−1)=y−1⋅(x−1)(nx−x−1)xn−1+nx−1((nx) * y) - x(n * y) = x\sqrt{(n-1)(y-1)} - \sqrt{(nx-1)(y-1)} = \sqrt{y-1} \cdot \frac{(x-1)(nx-x-1)}{x\sqrt{n-1} + \sqrt{nx-1}}, pentru x,y∈Mx, y \in M și n∈Nn \in \mathbb{N}, n≥2n \geq 2.
6
3 puncte
Cum nx−x−1=x(n−1)−1nx - x - 1 = x(n-1) - 1 și x≥1x \geq 1, n≥2n \geq 2, obținem nx−x−1≥0nx - x - 1 \geq 0, deci (nx)∗y≥x(n∗y)(nx) * y \geq x(n * y), pentru orice x,y∈Mx, y \in M și orice număr natural nn, n≥2n \geq 2.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=4xx2+3f(x) = \frac{4\sqrt{x}}{x^2 + 3}. a) Arătați că f′(x)=6(1−x2)x(x2+3)2f'(x) = \frac{6(1 - x^2)}{\sqrt{x}(x^2 + 3)^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty), știind că tangenta la graficul funcției ff în punctul A(a,f(a))A(a, f(a)) este paralelă cu axa OxOx. c) Demonstrați că xx2+3>x+1xx2+1x2+5\frac{\sqrt{x}}{x^2 + 3} > \frac{\sqrt{x + \frac{1}{x}}}{x^2 + \frac{1}{x^2} + 5}, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=2x⋅(x2+3)−4x⋅2x(x2+3)2f'(x) = \frac{\frac{2}{\sqrt{x}} \cdot (x^2 + 3) - 4\sqrt{x} \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2}.
2
2 puncte
=2x2+6−8x2x(x2+3)2=6(1−x2)x(x2+3)2= \frac{2x^2 + 6 - 8x^2}{\sqrt{x}(x^2 + 3)^2} = \frac{6(1 - x^2)}{\sqrt{x}(x^2 + 3)^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Tangenta la graficul funcției ff în punctul A(a,f(a))A(a, f(a)) este paralelă cu axa Ox⇔f′(a)=0Ox \Leftrightarrow f'(a) = 0, deci 1−a2=01 - a^2 = 0.
4
2 puncte
Cum a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty), obținem a=1a = 1.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)<0f'(x) < 0, pentru orice x∈(1,+∞)⇒fx \in (1, +\infty) \Rightarrow f este strict descrescătoare pe (1,+∞)(1, +\infty).
6
3 puncte
1<x<x+1x⇒f(x)>f(x+1x)1 < x < x + \frac{1}{x} \Rightarrow f(x) > f\left(x + \frac{1}{x}\right), deci xx2+3>x+1xx2+1x2+5\frac{\sqrt{x}}{x^2 + 3} > \frac{\sqrt{x + \frac{1}{x}}}{x^2 + \frac{1}{x^2} + 5}, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex+2xexf(x) = \frac{e^x + 2x}{e^x}. a) Arătați că ∫01exf(x) dx=e\displaystyle\int_0^1 e^x f(x) \, dx = e. b) Arătați că ∫−10f(x) dx=−1\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x) \, dx = -1. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫01F(x)f′′(x) dx=a(e+1)e2\displaystyle\int_0^1 F(x) f''(x) \, dx = \frac{a(e+1)}{e^2}, unde F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R} este primitiva funcției ff cu proprietatea F(0)=0F(0) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01exf(x) dx=∫01(ex+2x) dx=(ex+x2)∣01\displaystyle\int_0^1 e^x f(x) \, dx = \int_0^1 (e^x + 2x) \, dx = \left.(e^x + x^2)\right|_0^1.
2
2 puncte
=e+1−1=e= e + 1 - 1 = e.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫−10f(x) dx=∫−10(1+2xe−x) dx=(x−2(x+1)e−x)∣−10\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x) \, dx = \int_{-1}^{0} (1 + 2xe^{-x}) \, dx = \left.(x - 2(x+1)e^{-x})\right|_{-1}^{0}.
4
2 puncte
=−2−(−1)=−1= -2 - (-1) = -1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci ∫01F(x)f′′(x) dx=F(x)f′(x)∣01−f2(x)2∣01=F(1)f′(1)−F(0)f′(0)−f2(1)−f2(0)2\displaystyle\int_0^1 F(x) f''(x) \, dx = \left.F(x)f'(x)\right|_0^1 - \left.\frac{f^2(x)}{2}\right|_0^1 = F(1)f'(1) - F(0)f'(0) - \frac{f^2(1) - f^2(0)}{2}.
6
2 puncte
f′(x)=2(1−x)e−xf'(x) = 2(1 - x)e^{-x}, deci f′(1)=0f'(1) = 0 și, cum F(0)=0F(0) = 0, obținem ∫01F(x)f′′(x) dx=−2(e+1)e2\displaystyle\int_0^1 F(x) f''(x) \, dx = \frac{-2(e+1)}{e^2}, deci a=−2a = -2.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2022 — Matematică-Informatică

Următor →

Simulare 2022 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac