BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2023 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (1−0,2):2+0,3⋅2=1(1 - 0{,}2) : 2 + 0{,}3 \cdot 2 = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează (1−0,2):2+0,3⋅2=0,8:2+0,6(1 - 0{,}2) : 2 + 0{,}3 \cdot 2 = 0{,}8 : 2 + 0{,}6.
2
2 puncte
Se obține 0,4+0,6=10{,}4 + 0{,}6 = 1.
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x+mg(x) = x + m, unde mm este număr real. Determinați numărul real mm pentru care f(2)=g(2)f(2) = g(2).

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează f(2)=4−6+2=0f(2) = 4 - 6 + 2 = 0 și g(2)=2+mg(2) = 2 + m.
2
2 puncte
Din 0=2+m0 = 2 + m se obține m=−2m = -2.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7x+3=49x7^{x+3} = 49^x.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie 7x+3=72x7^{x+3} = 7^{2x}, de unde se obține x+3=2xx + 3 = 2x.
2
2 puncte
Se obține x=3x = 3.
Exercițiul 4
După o ieftinire cu 30%30\%, un produs costă 210210 lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie ecuația x−30100⋅x=210x - \frac{30}{100} \cdot x = 210, unde xx este prețul înainte de ieftinire.
2
2 puncte
Se obține x=300x = 300 de lei.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,5)A(0, 5) și B(2,−1)B(2, -1). Arătați că triunghiul OMBOMB este dreptunghic în OO, unde MM este mijlocul segmentului ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează M(1,2)M(1, 2), deci OM=5OM = \sqrt{5} și MB=10MB = \sqrt{10}.
2
2 puncte
Se calculează OB=5OB = \sqrt{5}, deci MB2=OB2+OM2MB^2 = OB^2 + OM^2, de unde se obține că triunghiul OMBOMB este dreptunghic în OO.
Exercițiul 6
Arătați că 3sin⁡45∘+2sin⁡30∘−2cos⁡30∘=1\sqrt{3} \sin 45^\circ + 2 \sin 30^\circ - \sqrt{2} \cos 30^\circ = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se înlocuiește sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
2
2 puncte
Se obține 3⋅22+2⋅12−2⋅32=62+1−62=1\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{6}}{2} = 1.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(x+2−22x−1)A(x) = \begin{pmatrix} x + 2 & -2 \\ 2 & x - 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(2))=8\det(A(2)) = 8. b) Determinați numărul real xx pentru care A(0)⋅A(0)=A(x)A(0) \cdot A(0) = A(x). c) Arătați că, dacă xx și yy sunt numere reale distincte astfel încât det⁡(A(x))=det⁡(A(y))\det(A(x)) = \det(A(y)), atunci x+y=−1x + y = -1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează A(2)=(4−221)A(2) = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(2))=4⋅1−(−2)⋅2\det(A(2)) = 4 \cdot 1 - (-2) \cdot 2.
2
2 puncte
Se obține det⁡(A(2))=4+4=8\det(A(2)) = 4 + 4 = 8.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează A(0)=(2−22−1)A(0) = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, deci A(0)⋅A(0)=(0−22−3)A(0) \cdot A(0) = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Din (0−22−3)=(x+2−22x−1)\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2 & -2 \\ 2 & x - 1 \end{pmatrix} se obține x=−2x = -2.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează det⁡(A(x))=x2+x+2\det(A(x)) = x^2 + x + 2, pentru orice număr real xx.
6
3 puncte
Din x2+x+2=y2+y+2x^2 + x + 2 = y^2 + y + 2 se obține (x−y)(x+y+1)=0(x - y)(x + y + 1) = 0 și, cum xx și yy sunt numere reale distincte, se obține x+y+1=0x + y + 1 = 0, deci x+y=−1x + y = -1.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=4xy−3x+2y−1x * y = 4xy - 3x + 2y - 1. a) Arătați că 1∗2=81 * 2 = 8. b) Determinați numărul real xx pentru care x∗(−1)=4x * (-1) = 4. c) Determinați numărul real aa pentru care x∗a=−xx * a = -x, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 1∗2=4⋅1⋅2−3⋅1+2⋅2−11 * 2 = 4 \cdot 1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 1.
2
2 puncte
Se obține 1∗2=8−3+4−1=81 * 2 = 8 - 3 + 4 - 1 = 8.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează x∗(−1)=−4x−3x−2−1=−7x−3x * (-1) = -4x - 3x - 2 - 1 = -7x - 3, pentru orice număr real xx.
4
3 puncte
Din −7x−3=4-7x - 3 = 4 se obține −7x=7-7x = 7, deci x=−1x = -1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se scrie 4ax−3x+2a−1=−x4ax - 3x + 2a - 1 = -x, de unde 4ax−2x+2a−1=04ax - 2x + 2a - 1 = 0, adică 2x(2a−1)+2a−1=02x(2a - 1) + 2a - 1 = 0, pentru orice număr real xx.
6
2 puncte
Se obține a=12a = \frac{1}{2}.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x−1+8xf(x) = 2x - 1 + \frac{8}{x}. a) Arătați că f′(x)=2(x2−4)x2f'(x) = \frac{2(x^2 - 4)}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=2x = 2, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(1−x)≥f(1+x)f(1 - x) \geq f(1 + x), pentru orice x∈(0,1)x \in (0, 1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f′(x)=2−8x2f'(x) = 2 - \frac{8}{x^2}.
2
2 puncte
Se obține f′(x)=2x2−8x2=2(x2−4)x2f'(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2} = \frac{2(x^2 - 4)}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează f(2)=7f(2) = 7 și f′(2)=0f'(2) = 0.
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(2)=f′(2)(x−2)y - f(2) = f'(2)(x - 2), adică y=7y = 7.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇒x=2f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2; f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(0,2]x \in (0, 2], deci ff este descrescătoare pe (0,2](0, 2].
6
3 puncte
Din 0<1−x<1+x<20 < 1 - x < 1 + x < 2, pentru orice x∈(0,1)x \in (0, 1), se obține f(1−x)≥f(1+x)f(1 - x) \geq f(1 + x), pentru orice x∈(0,1)x \in (0, 1).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x2+4x+2f(x) = 3x^2 + 4x + 2. a) Arătați că ∫02(f(x)−4x)dx=12\displaystyle\int_0^2 \left( f(x) - 4x \right) dx = 12. b) Arătați că ∫01(f(x)−3x2−2)ex dx=4\displaystyle\int_0^1 \left( f(x) - 3x^2 - 2 \right) e^x\, dx = 4. c) Determinați a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty) pentru care ∫−10a⋅f′(x)⋅(f(x))a−1 dx=63\displaystyle\int_{-1}^{0} a \cdot f'(x) \cdot \left( f(x) \right)^{a-1}\, dx = 63.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫02(f(x)−4x) dx=∫02(3x2+2) dx=(x3+2x)∣02\displaystyle\int_0^2 (f(x) - 4x)\, dx = \int_0^2 (3x^2 + 2)\, dx = \left( x^3 + 2x \right) \Big|_0^2.
2
2 puncte
Se obține 23+2⋅2=122^3 + 2 \cdot 2 = 12.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫01(f(x)−3x2−2)ex dx=∫014xex dx=4(x−1)ex∣01\displaystyle\int_0^1 (f(x) - 3x^2 - 2) e^x\, dx = \int_0^1 4x e^x\, dx = 4(x - 1) e^x \Big|_0^1.
4
2 puncte
Se obține 4⋅0⋅e−4⋅(−1)⋅1=0+4=44 \cdot 0 \cdot e - 4 \cdot (-1) \cdot 1 = 0 + 4 = 4.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează ∫−10a⋅f′(x)⋅(f(x))a−1 dx=(f(x))a∣−10=2a−1\displaystyle\int_{-1}^{0} a \cdot f'(x) \cdot (f(x))^{a-1}\, dx = (f(x))^a \Big|_{-1}^{0} = 2^a - 1, pentru orice a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty).
6
2 puncte
Din 2a−1=632^a - 1 = 63 se obține 2a=642^a = 64, deci a=6a = 6.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2023 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2023 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac