BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare XI 2014 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numărul real xx știind că numerele 44, 3636 și xx sunt în progresie geometrică.

Rezolvare

1
2 puncte
362=4x36^2 = 4x.
2
3 puncte
x=324x = 324.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+af(x) = x + a, unde aa este număr real. Determinați numărul real aa pentru care (f∘f)(x)=x(f \circ f)(x) = x pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
3 puncte
(x+a)+a=x(x + a) + a = x pentru orice număr real xx.
2
2 puncte
a=0a = 0.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3−x+2=33^{-x+2} = \sqrt{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
−x+2=12-x + 2 = \frac{1}{2}.
2
2 puncte
x=32x = \frac{3}{2}.
Exercițiul 4
Determinați numărul submulțimilor cu cel mult 33 elemente ale mulțimii M={1,2,3,4}M = \{1, 2, 3, 4\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Numărul submulțimilor cu cel mult 33 elemente ale mulțimii MM este C40+C41+C42+C43C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3.
2
3 puncte
=24−1=15= 2^4 - 1 = 15.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctul A(2,−3)A(2, -3) și dreapta d:2x+y−5=0d : 2x + y - 5 = 0. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul AA și este perpendiculară pe dreapta dd.

Rezolvare

1
2 puncte
md=−2m_d = -2 și mh⋅md=−1⇒mh=12m_h \cdot m_d = -1 \Rightarrow m_h = \frac{1}{2}, unde hh este dreapta care trece prin punctul AA și este perpendiculară pe dreapta dd.
2
3 puncte
h:x−2y−8=0h : x - 2y - 8 = 0.
Exercițiul 6
Calculați sin⁡2x\sin 2x, știind că x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=357\cos x = \frac{3\sqrt{5}}{7}.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡2x+cos⁡2x=1⇒sin⁡x=27\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow \sin x = \frac{2}{7}.
2
3 puncte
sin⁡2x=2sin⁡x⋅cos⁡x=12549\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x = \frac{12\sqrt{5}}{49}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele O(0,0)O(0, 0), A(0,2)A(0, 2), B(3,5)B(3, 5) și C(6,8)C(6, 8). a) Determinați ecuația dreptei ACAC. b) Verificați dacă punctele AA, BB și CC sunt coliniare. c) Demonstrați că aria triunghiului AOBAOB este egală cu aria triunghiului BOCBOC.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) AC:∣xy1021681∣=0AC : \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 6 & 8 & 1 \end{vmatrix} = 0.
2
3 puncte
AC:x−y+2=0AC : x - y + 2 = 0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∣021351681∣=0+24+12−30−6−0\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \\ 6 & 8 & 1 \end{vmatrix} = 0 + 24 + 12 - 30 - 6 - 0.
4
2 puncte
=0⇒= 0 \Rightarrow punctele AA, BB și CC sunt coliniare.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) ∣021001351∣=6⇒AAOB=3\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{vmatrix} = 6 \Rightarrow \mathcal{A}_{AOB} = 3.
6
3 puncte
∣351001681∣=6⇒ABOC=3⇒AAOB=ABOC\begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 6 & 8 & 1 \end{vmatrix} = 6 \Rightarrow \mathcal{A}_{BOC} = 3 \Rightarrow \mathcal{A}_{AOB} = \mathcal{A}_{BOC}.
Exercițiul 2
Se consideră matricele A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} și B=(4321)B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}. a) Calculați 2A+2B2A + 2B. b) Arătați că (A−B)⋅(B−A)=−8I2(A - B) \cdot (B - A) = -8I_2. c) Determinați matricea X=(ab13)∈M2(R)X = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) cu proprietatea că A⋅X=X⋅BA \cdot X = X \cdot B.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) 2A=(2468)2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}, 2B=(8642)2B = \begin{pmatrix} 8 & 6 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}.
2
3 puncte
2A+2B=(10101010)2A + 2B = \begin{pmatrix} 10 & 10 \\ 10 & 10 \end{pmatrix}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A−B=(−3−113)A - B = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, B−A=(31−1−3)B - A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}.
4
3 puncte
(A−B)⋅(B−A)=(−800−8)=−8I2(A - B) \cdot (B - A) = \begin{pmatrix} -8 & 0 \\ 0 & -8 \end{pmatrix} = -8I_2.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A⋅X=(a+2b+63a+43b+12)A \cdot X = \begin{pmatrix} a + 2 & b + 6 \\ 3a + 4 & 3b + 12 \end{pmatrix}, X⋅B=(4a+2b3a+b106)X \cdot B = \begin{pmatrix} 4a + 2b & 3a + b \\ 10 & 6 \end{pmatrix}.
6
3 puncte
(a+2b+63a+43b+12)=(4a+2b3a+b106)⇒a=2\begin{pmatrix} a + 2 & b + 6 \\ 3a + 4 & 3b + 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4a + 2b & 3a + b \\ 10 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow a = 2 și b=−2b = -2, deci X=(2−213)X = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx+ef(x) = \ln\frac{x}{x + e}. a) Calculați lim⁡x→ef(x)\displaystyle\lim_{x \to e} f(x). b) Arătați că dreapta de ecuație x=0x = 0 este asimptotă verticală la graficul funcției ff. c) Determinați ecuația asimptotei spre +∞+\infty la graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→ef(x)=lim⁡x→eln⁡xx+e\displaystyle\lim_{x \to e} f(x) = \lim_{x \to e} \ln\frac{x}{x + e}.
2
3 puncte
=ln⁡12= \ln\frac{1}{2}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→0x>0f(x)=lim⁡x→0x>0ln⁡xx+e\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \ln\frac{x}{x + e}.
4
3 puncte
=−∞⇒= -\infty \Rightarrow dreapta de ecuație x=0x = 0 este asimptotă verticală la graficul funcției ff.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞ln⁡xx+e=ln⁡(lim⁡x→+∞11+ex)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \ln\frac{x}{x + e} = \ln\left(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1 + \frac{e}{x}}\right).
6
2 puncte
=ln⁡1=0⇒= \ln 1 = 0 \Rightarrow ecuația asimptotei spre +∞+\infty la graficul funcției ff este y=0y = 0.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={x−6,x≤2x2−a,x>2f(x) = \begin{cases} x - 6, & x \leq 2 \\ x^2 - a, & x > 2 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Determinați numărul real aa știind că funcția ff este continuă în punctul x=2x = 2. b) Pentru a=8a = 8, rezolvați ecuația f(x)=0f(x) = 0. c) Pentru a=8a = 8, stabiliți semnul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ff este continuă în x=2⇒lim⁡x→2x<2f(x)=lim⁡x→2x>2f(x)=f(2)x = 2 \Rightarrow \displaystyle\lim_{\substack{x \to 2 \\ x < 2}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 2 \\ x > 2}} f(x) = f(2).
2
3 puncte
4−a=−4⇒a=84 - a = -4 \Rightarrow a = 8.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∈(−∞,2]x \in (-\infty, 2] și f(x)=0⇒x=6f(x) = 0 \Rightarrow x = 6 nu convine.
4
3 puncte
x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty) și f(x)=0⇒x2=8⇒x=−22f(x) = 0 \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x = -2\sqrt{2} nu convine, x=22x = 2\sqrt{2} convine.
c)5 puncte
5
1 punct
c) x∈(−∞,2]x \in (-\infty, 2] și f(x)=x−6⇒f(x)<0f(x) = x - 6 \Rightarrow f(x) < 0.
6
2 puncte
x∈(2,22)x \in (2, 2\sqrt{2}) și f(x)=x2−8⇒f(x)<0f(x) = x^2 - 8 \Rightarrow f(x) < 0; f(22)=0f(2\sqrt{2}) = 0.
7
2 puncte
x∈(22,+∞)x \in (2\sqrt{2}, +\infty) și f(x)=x2−8⇒f(x)>0f(x) = x^2 - 8 \Rightarrow f(x) > 0.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2014 — Științele Naturii

Următor →

Model 2014 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac