BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare XI 2018 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numărul complex zz, știind că 2z‾+iz=4+5i2\overline{z} + iz = 4 + 5i, unde z‾\overline{z} este conjugatul lui zz.

Rezolvare

1
3 puncte
2(a−ib)+i(a+ib)=4+5i⇔(2a−b)+i(a−2b)=4+5i2(a - ib) + i(a + ib) = 4 + 5i \Leftrightarrow (2a - b) + i(a - 2b) = 4 + 5i, unde z=a+ibz = a + ib, a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}
2
2 puncte
a=1a = 1, b=−2b = -2, deci z=1−2iz = 1 - 2i
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3−2xf(x) = 3 - 2x. Determinați valorile reale ale lui xx pentru care (f∘f)(x)<x(f \circ f)(x) < x.

Rezolvare

1
2 puncte
(f∘f)(x)=3−2(3−2x)=4x−3(f \circ f)(x) = 3 - 2(3 - 2x) = 4x - 3
2
3 puncte
4x−3<x⇔x∈(−∞,1)4x - 3 < x \Leftrightarrow x \in (-\infty, 1)
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x2+1⋅273=333^{x^2+1} \cdot \sqrt[3]{27} = 3^3.

Rezolvare

1
3 puncte
3x2+1⋅31=33⇔x2+2=33^{x^2+1} \cdot 3^1 = 3^3 \Leftrightarrow x^2 + 2 = 3
2
2 puncte
x=−1x = -1 sau x=1x = 1
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime dintre submulțimile cu două elemente ale mulțimii A={0,1,2,3,4,5}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}, aceasta să conțină numai numere pare.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea AA are C62C_6^2 submulțimi cu două elemente, deci numărul cazurilor posibile este egal cu 1515
2
2 puncte
Mulțimea AA are C32C_3^2 submulțimi cu două elemente care conțin numai numere pare, deci numărul cazurilor favorabile este egal cu 33
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=315=15p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}
Exercițiul 5
Se consideră dreptunghiul ABCDABCD cu AB=8AB = 8, AD=4AD = 4 și punctul MM, mijlocul laturii CDCD. Calculați lungimea vectorului v⃗=DC→+BM→\vec{v} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BM}.

Rezolvare

1
3 puncte
DC→=AB→\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}, deci v⃗=AB→+BM→=AM→\vec{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM}
2
2 puncte
AM=42AM = 4\sqrt{2}
Exercițiul 6
Se consideră E(x)=sin⁡2x3−cos⁡8x3E(x) = \sin\frac{2x}{3} - \cos\frac{8x}{3}, unde xx este număr real. Arătați că numărul E(π4)E\left(\frac{\pi}{4}\right) este natural.

Rezolvare

1
2 puncte
E(π4)=sin⁡π6−cos⁡2π3E\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{6} - \cos\frac{2\pi}{3}
2
3 puncte
=12−(−12)=1∈N= \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 \in \mathbb{N}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și A(a)=(a2+aa2−a1a2−aa2+a1001)A(a) = \begin{pmatrix} a^2 + a & a^2 - a & 1 \\ a^2 - a & a^2 + a & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(−2))=−32\det(A(-2)) = -32. b) Determinați valorile reale ale lui xx pentru care det⁡(A(x)−xI3)≥0\det(A(x) - xI_3) \geq 0. c) În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele Pa(a2+a,a2−a)P_a(a^2 + a, a^2 - a), unde aa este număr real. Demonstrați că pentru orice număr real nenul aa, punctele PaP_a, P−aP_{-a} și OO nu sunt coliniare.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(−2)=(261621001)⇒det⁡(A(−2))=∣261621001∣A(-2) = \begin{pmatrix} 2 & 6 & 1 \\ 6 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(-2)) = \begin{vmatrix} 2 & 6 & 1 \\ 6 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=4+0+0−0−0−36=−32= 4 + 0 + 0 - 0 - 0 - 36 = -32
b)5 puncte
3
3 puncte
det⁡(A(x)−xI3)=∣x2x2−x1x2−xx21001−x∣=x2(1−x)(2x−1)\det(A(x) - xI_3) = \begin{vmatrix} x^2 & x^2 - x & 1 \\ x^2 - x & x^2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 - x \end{vmatrix} = x^2(1 - x)(2x - 1)
4
2 puncte
x2(1−x)(2x−1)≥0⇔x∈[12,1]∪{0}x^2(1 - x)(2x - 1) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right] \cup \{0\}
c)5 puncte
5
2 puncte
Δ=∣a2+aa2−a1a2−aa2+a1001∣=4a3\Delta = \begin{vmatrix} a^2 + a & a^2 - a & 1 \\ a^2 - a & a^2 + a & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 4a^3
6
3 puncte
Pentru orice aa număr real nenul, obținem Δ≠0\Delta \neq 0, deci punctele PaP_a, P−aP_{-a} și OO nu sunt coliniare
Exercițiul 2
Se consideră matricea M(x)=(10x02x0001)M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 2^x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Demonstrați că M(x)⋅M(−x)=M(0)M(x) \cdot M(-x) = M(0), pentru orice număr real xx. b) Calculați inversa matricei M(x)M(x), x∈Rx \in \mathbb{R}. c) Arătați că det⁡(M(1)+M(2)+…+M(n))=2n2(2n−1)\det(M(1) + M(2) + \ldots + M(n)) = 2n^2(2^n - 1), pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
M(x)⋅M(−x)=(10x02x0001)(10−x02−x0001)=(10−x+x02x⋅2−x0001)M(x) \cdot M(-x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 2^x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -x \\ 0 & 2^{-x} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -x + x \\ 0 & 2^x \cdot 2^{-x} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
2
2 puncte
=(100010001)=M(0)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = M(0), pentru orice număr real xx
b)5 puncte
3
3 puncte
M(x)⋅M(−x)=M(−x)⋅M(x)=I3M(x) \cdot M(-x) = M(-x) \cdot M(x) = I_3, pentru orice număr real xx
4
2 puncte
Inversa matricei M(x)M(x) este matricea M(−x)=(10−x02−x0001)M(-x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -x \\ 0 & 2^{-x} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, x∈Rx \in \mathbb{R}
c)5 puncte
5
2 puncte
M(1)+M(2)+…+M(n)=(n01+2+…+n021+22+…+2n000n)M(1) + M(2) + \ldots + M(n) = \begin{pmatrix} n & 0 & 1 + 2 + \ldots + n \\ 0 & 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^n & 0 \\ 0 & 0 & n \end{pmatrix}
6
3 puncte
det⁡(M(1)+M(2)+…+M(n))=∣n0n(n+1)202(2n−1)000n∣=2n2(2n−1)\det(M(1) + M(2) + \ldots + M(n)) = \begin{vmatrix} n & 0 & \frac{n(n+1)}{2} \\ 0 & 2(2^n - 1) & 0 \\ 0 & 0 & n \end{vmatrix} = 2n^2(2^n - 1), pentru orice număr natural nenul nn

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x(x+1)2f(x) = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}. a) Calculați lim⁡x→0f(x)x\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} cu an=f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅…⋅f(n)a_n = f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) \cdot \ldots \cdot f(n) este descrescător.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
lim⁡x→0f(x)x=lim⁡x→0x(x+2)x(x+1)2\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(x + 2)}{x(x + 1)^2}
2
3 puncte
=lim⁡x→0x+2(x+1)2=2= \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x + 2}{(x + 1)^2} = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2+2xx2+2x+1=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 2x}{x^2 + 2x + 1} = 1
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=1y = 1 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
an+1an=f(n+1)=1−1n2+4n+4<1\frac{a_{n+1}}{a_n} = f(n + 1) = 1 - \frac{1}{n^2 + 4n + 4} < 1, pentru orice număr natural nenul nn
6
2 puncte
Cum an>0a_n > 0 pentru orice număr natural nenul nn, obținem an+1<ana_{n+1} < a_n, deci șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} este descrescător
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={2x+sin⁡(x−1)+m,x≤13x−2−1x2−1,x>1f(x) = \begin{cases} 2^x + \sin(x - 1) + m, & x \leq 1 \\ \frac{\sqrt{3x - 2} - 1}{x^2 - 1}, & x > 1 \end{cases}, unde mm este număr real. a) Arătați că lim⁡x→1x>1f(x)=34\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x) = \frac{3}{4}. b) Determinați numărul real mm pentru care funcția ff este continuă pe R\mathbb{R}. c) Pentru m=−54m = -\frac{5}{4}, demonstrați că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are cel puțin o soluție în intervalul (0,2)(0, 2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
lim⁡x→1x>1f(x)=lim⁡x→1x>13x−2−1x2−1=lim⁡x→1x>13x−2−1(x−1)(x+1)(3x−2+1)\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \frac{\sqrt{3x - 2} - 1}{x^2 - 1} = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \frac{3x - 2 - 1}{(x - 1)(x + 1)(\sqrt{3x - 2} + 1)}
2
2 puncte
=lim⁡x→1x>13(x+1)(3x−2+1)=34= \displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \frac{3}{(x + 1)(\sqrt{3x - 2} + 1)} = \frac{3}{4}
b)5 puncte
3
2 puncte
Pentru orice număr real mm, funcția ff este continuă pe (−∞,1)(-\infty, 1) și pe (1,+∞)(1, +\infty)
4
3 puncte
lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→1x<1(2x+sin⁡(x−1)+m)=2+m\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} (2^x + \sin(x - 1) + m) = 2 + m, lim⁡x→1x>1f(x)=34\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x) = \frac{3}{4} și f(1)=2+mf(1) = 2 + m, deci funcția ff este continuă pe R⇔m=−54\mathbb{R} \Leftrightarrow m = -\frac{5}{4}
c)5 puncte
5
2 puncte
f(0)=−14−sin⁡1f(0) = -\frac{1}{4} - \sin 1, f(2)=13f(2) = \frac{1}{3}
6
3 puncte
ff este continuă pe R\mathbb{R} și f(0)⋅f(2)<0f(0) \cdot f(2) < 0, deci ecuația f(x)=0f(x) = 0 are cel puțin o soluție în intervalul (0,2)(0, 2)

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2018 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2018 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac