BAC M1 Mate-Info8 exerciții

Simulare XI 2018 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul N=log⁡57+log⁡535−2log⁡5725N = \log_5 7 + \log_5 35 - 2\log_5 \frac{7}{25} este natural.

Rezolvare

1
2 puncte
N=log⁡5(7⋅35)−log⁡5(725)2N = \log_5\left(7 \cdot 35\right) - \log_5\left(\frac{7}{25}\right)^2
2
3 puncte
=log⁡5(7⋅35⋅25272)=log⁡5(55)=5∈N= \log_5\left(7 \cdot 35 \cdot \frac{25^2}{7^2}\right) = \log_5(5^5) = 5 \in \mathbb{N}
Exercițiul 2
Știind că f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+2f(x) = x + 2, calculați S=(f∘f)(1)+(f∘f)(2)+…+(f∘f)(10)S = (f \circ f)(1) + (f \circ f)(2) + \ldots + (f \circ f)(10).

Rezolvare

1
3 puncte
S=f(f(1))+f(f(2))+…+f(f(10))=5+6+7+…+14S = f(f(1)) + f(f(2)) + \ldots + f(f(10)) = 5 + 6 + 7 + \ldots + 14
2
2 puncte
=95= 95
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2+1)+3=log⁡2(7x2+9)\log_2(x^2 + 1) + 3 = \log_2(7x^2 + 9).

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡2(x2+1)+log⁡28=log⁡2(7x2+9)⇒8(x2+1)=7x2+9⇒x2=1\log_2(x^2 + 1) + \log_2 8 = \log_2(7x^2 + 9) \Rightarrow 8(x^2 + 1) = 7x^2 + 9 \Rightarrow x^2 = 1
2
2 puncte
x=−1x = -1 sau x=1x = 1, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={i,i2,i3,i4}A = \{i, i^2, i^3, i^4\}, unde i2=−1i^2 = -1, acesta să fie număr real.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea AA are 44 elemente, deci sunt 44 cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea AA sunt 22 numere reale, deci sunt 22 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=24=12p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(1,n)M(1, n), N(n,3)N(n, 3) și P(2n,5)P(2n, 5), unde nn este număr natural. Știind că vectorii MN→\overrightarrow{MN} și MP→\overrightarrow{MP} sunt coliniari, determinați numărul natural nn.

Rezolvare

1
2 puncte
MN→=(n−1)i⃗+(3−n)j⃗\overrightarrow{MN} = (n - 1)\vec{i} + (3 - n)\vec{j}, MP→=(2n−1)i⃗+(5−n)j⃗\overrightarrow{MP} = (2n - 1)\vec{i} + (5 - n)\vec{j}
2
3 puncte
n−12n−1=3−n5−n\frac{n - 1}{2n - 1} = \frac{3 - n}{5 - n} și, cum nn este număr natural, obținem n=2n = 2
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡(x−π3)+cos⁡(x+π6)=0\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 0, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
cos⁡π3=sin⁡π6\cos\frac{\pi}{3} = \sin\frac{\pi}{6}, sin⁡π3=cos⁡π6\sin\frac{\pi}{3} = \cos\frac{\pi}{6}
2
3 puncte
sin⁡(x−π3)+cos⁡(x+π6)=sin⁡xcos⁡π3−sin⁡π3cos⁡x+cos⁡xcos⁡π6−sin⁡xsin⁡π6=0\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin x\cos\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{3}\cos x + \cos x\cos\frac{\pi}{6} - \sin x\sin\frac{\pi}{6} = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și X(a)=(241391aa21)X(a) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 9 & 1 \\ a & a^2 & 1 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(X(−1))=12\det(X(-1)) = 12. b) Determinați numerele reale aa pentru care det⁡(X(a)−I3)=0\det(X(a) - I_3) = 0. c) În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,4)A(2, 4), B(3,9)B(3, 9) și C(a,a2)C(a, a^2), unde aa este număr natural. Determinați numerele naturale aa pentru care ABCABC este triunghi și are aria mai mică decât 33.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
X(−1)=(241391−111)⇒det⁡(X(−1))=∣241391−111∣X(-1) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 9 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(X(-1)) = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 9 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=18+3+(−4)−(−9)−12−2=12= 18 + 3 + (-4) - (-9) - 12 - 2 = 12
b)5 puncte
3
3 puncte
det⁡(X(a)−I3)=∣141381aa20∣=2a2−4a\det(X(a) - I_3) = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ a & a^2 & 0 \end{vmatrix} = 2a^2 - 4a
4
2 puncte
2a2−4a=0⇔a=02a^2 - 4a = 0 \Leftrightarrow a = 0 sau a=2a = 2
c)5 puncte
5
2 puncte
Δ=∣241391aa21∣=a2−5a+6\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 9 & 1 \\ a & a^2 & 1 \end{vmatrix} = a^2 - 5a + 6 și, cum ABCABC este triunghi, obținem a2−5a+6≠0a^2 - 5a + 6 \neq 0
6
3 puncte
A△ABC=12∣Δ∣\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|\Delta|, deci ∣a2−5a+6∣<6|a^2 - 5a + 6| < 6 și, cum aa este număr natural, obținem a=1a = 1 sau a=4a = 4
Exercițiul 2
Se consideră matricea M(x)=(1+3x3x−3x1−3x)M(x) = \begin{pmatrix} 1 + 3x & 3x \\ -3x & 1 - 3x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Demonstrați că M(x)⋅M(y)=M(x+y)M(x) \cdot M(y) = M(x + y), pentru orice numere reale xx și yy. b) Determinați inversa matricei M(x)M(x), unde xx este număr real. c) Determinați numărul real pozitiv xx pentru care are loc egalitatea M(x)⋅M(x+5)=M(5)M(\sqrt{x}) \cdot M(\sqrt{x + 5}) = M(5).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
M(x)⋅M(y)=(1+3y+3x+9xy−9xy3y+9xy+3x−9xy−3x−9xy−3y+9xy−9xy+1−3y−3x+9xy)M(x) \cdot M(y) = \begin{pmatrix} 1 + 3y + 3x + 9xy - 9xy & 3y + 9xy + 3x - 9xy \\ -3x - 9xy - 3y + 9xy & -9xy + 1 - 3y - 3x + 9xy \end{pmatrix}
2
2 puncte
=(1+3(x+y)3(x+y)−3(x+y)1−3(x+y))=M(x+y)= \begin{pmatrix} 1 + 3(x + y) & 3(x + y) \\ -3(x + y) & 1 - 3(x + y) \end{pmatrix} = M(x + y), pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
2 puncte
M(x)⋅M(−x)=M(x+(−x))=M(0)=I2M(x) \cdot M(-x) = M(x + (-x)) = M(0) = I_2, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
M(−x)⋅M(x)=M((−x)+x)=M(0)=I2M(-x) \cdot M(x) = M((-x) + x) = M(0) = I_2, pentru orice număr real xx, deci inversa matricei M(x)M(x) este matricea M(−x)=(1−3x−3x3x1+3x)M(-x) = \begin{pmatrix} 1 - 3x & -3x \\ 3x & 1 + 3x \end{pmatrix}, x∈Rx \in \mathbb{R}
c)5 puncte
5
2 puncte
M(x+x+5)=M(5)M(\sqrt{x} + \sqrt{x + 5}) = M(5), deci x+x+5=5\sqrt{x} + \sqrt{x + 5} = 5
6
3 puncte
x=4x = 4

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2018 — Științele Naturii

Următor →

Model 2018 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac