BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2019 — Matematică-Informatică (Varianta 8)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numerele complexe z1=3−iz_1 = 3 - i și z2=8−3iz_2 = 8 - 3i. Arătați că 3z1−z2=13z_1 - z_2 = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
3z1−z2=3(3−i)−(8−3i)=3z_1 - z_2 = 3(3 - i) - (8 - 3i) =
2
3 puncte
=9−3i−8+3i=1= 9 - 3i - 8 + 3i = 1
Exercițiul 2
Determinați numărul real aa pentru care f(a)+f(a+1)=35f(a) + f(a + 1) = 35, unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−5f(x) = x - 5.

Rezolvare

1
2 puncte
a−5+(a+1)−5=35a - 5 + (a + 1) - 5 = 35
2
3 puncte
2a−9=35⇒a=222a - 9 = 35 \Rightarrow a = 22
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2⋅4x−4x+1+32=02 \cdot 4^x - 4^{x+1} + 32 = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
4x(2−4)+32=0⇔4x=164^x(2 - 4) + 32 = 0 \Leftrightarrow 4^x = 16
2
2 puncte
x=2x = 2
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice relația n(n+1)≥42n(n + 1) \geq 42.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile
2
2 puncte
Numerele naturale de o cifră care verifică relația sunt 66, 77, 88 și 99, deci sunt 44 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=410=25p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(8,4)A(8, 4), B(0,6)B(0, 6) și C(m,5)C(m, 5). Determinați numărul real mm, știind că AC→=CB→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}.

Rezolvare

1
2 puncte
AC→=CB→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}, deci punctul CC este mijlocul segmentului ABAB
2
3 puncte
m=4m = 4
Exercițiul 6
Calculați lungimea ipotenuzei BCBC a triunghiului dreptunghic ABCABC, știind că AB=6AB = 6 și aria triunghiului ABCABC este egală cu 2424.

Rezolvare

1
3 puncte
A△ABC=AB⋅AC2⇒24=6⋅AC2⇒AC=8\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{AB \cdot AC}{2} \Rightarrow 24 = \dfrac{6 \cdot AC}{2} \Rightarrow AC = 8
2
2 puncte
BC=10BC = 10

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(a+10001ln⁡(a+1)001)A(a) = \begin{pmatrix} a + 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln(a + 1) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde aa este număr real, a>0a > 0. a) Arătați că det⁡(A(1))=2\det(A(1)) = 2. b) Demonstrați că A(a)⋅A(b)=A(ab+a+b)A(a) \cdot A(b) = A(ab + a + b), pentru orice numere reale aa și bb, a>0a > 0, b>0b > 0. c) Determinați numărul real aa, a>0a > 0, știind că A(a)⋅A(a)⋅A(a)=A(7)A(a) \cdot A(a) \cdot A(a) = A(7).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(1)=(20001ln⁡2001)⇒det⁡(A(1))=∣20001ln⁡2001∣=A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=2+0+0−0−0−0=2= 2 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(a)⋅A(b)=((a+1)(b+1)0001ln⁡((a+1)(b+1))001)=A(a) \cdot A(b) = \begin{pmatrix} (a+1)(b+1) & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln((a+1)(b+1)) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=((ab+a+b)+10001ln⁡((ab+a+b)+1)001)=A(ab+a+b)= \begin{pmatrix} (ab+a+b)+1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln((ab+a+b)+1) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = A(ab + a + b), pentru orice numere reale aa și bb, a>0a > 0, b>0b > 0
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A(a)⋅A(a)=A ⁣((a+1)2−1)A(a) \cdot A(a) = A\!\left((a+1)^2 - 1\right), A(a)⋅A(a)⋅A(a)=A ⁣((a+1)3−1)A(a) \cdot A(a) \cdot A(a) = A\!\left((a+1)^3 - 1\right), pentru aa număr real, a>0a > 0
6
3 puncte
(a+1)3−1=7⇔(a+1)3=8(a+1)^3 - 1 = 7 \Leftrightarrow (a+1)^3 = 8, deci a=1a = 1
Exercițiul 2
Se consideră x1x_1, x2x_2, x3x_3 rădăcinile polinomului f=X3+mX2−mX+2f = X^3 + mX^2 - mX + 2, unde mm este număr real. a) Determinați numărul real mm, știind că f(−2)=0f(-2) = 0. b) Pentru m=1m = 1, determinați rădăcinile polinomului ff. c) Se consideră a=x12+mx1x2x3+x22+mx2x1x3+x32+mx3x1x2a = \dfrac{x_1^2 + mx_1}{x_2 x_3} + \dfrac{x_2^2 + mx_2}{x_1 x_3} + \dfrac{x_3^2 + mx_3}{x_1 x_2}. Demonstrați că a∈[3,+∞)a \in [3, +\infty), pentru orice număr real mm.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(−2)=6m−6f(-2) = 6m - 6, pentru mm număr real
2
2 puncte
6m−6=0⇒m=16m - 6 = 0 \Rightarrow m = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f=X3+X2−X+2=(X+2)(X2−X+1)f = X^3 + X^2 - X + 2 = (X + 2)(X^2 - X + 1)
4
3 puncte
x1=−2x_1 = -2, x2=1−i32x_2 = \dfrac{1 - i\sqrt{3}}{2}, x3=1+i32x_3 = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x1+x2+x3=−mx_1 + x_2 + x_3 = -m, x1x2x3=−2x_1 x_2 x_3 = -2
6
3 puncte
a=x13+mx12+x23+mx22+x33+mx32x1x2x3=mx1−2+mx2−2+mx3−2x1x2x3=m(x1+x2+x3)−6−2=m2+62≥3a = \dfrac{x_1^3 + mx_1^2 + x_2^3 + mx_2^2 + x_3^3 + mx_3^2}{x_1 x_2 x_3} = \dfrac{mx_1 - 2 + mx_2 - 2 + mx_3 - 2}{x_1 x_2 x_3} = \dfrac{m(x_1 + x_2 + x_3) - 6}{-2} = \dfrac{m^2 + 6}{2} \geq 3, deci a∈[3,+∞)a \in [3, +\infty), pentru orice număr real mm

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(x2+4x+1)f(x) = e^x\left(x^2 + 4x + 1\right). a) Arătați că f′(x)=ex(x+5)(x+1)f'(x) = e^x(x + 5)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției ff, în care tangenta la graficul funcției ff este paralelă cu axa OxOx. c) Determinați valorile reale ale lui aa pentru care ecuația f(x)=af(x) = a are exact trei soluții reale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=ex(x2+4x+1)+ex(2x+4)=f'(x) = e^x(x^2 + 4x + 1) + e^x(2x + 4) =
2
2 puncte
=ex(x2+6x+5)=ex(x+5)(x+1)= e^x(x^2 + 6x + 5) = e^x(x + 5)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Tangenta la graficul funcției ff în (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) este paralelă cu axa Ox⇔f′(x0)=0Ox \Leftrightarrow f'(x_0) = 0
4
3 puncte
ex0(x0+5)(x0+1)=0⇔x0=−5e^{x_0}(x_0 + 5)(x_0 + 1) = 0 \Leftrightarrow x_0 = -5 sau x0=−1x_0 = -1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, f(−5)=6e5f(-5) = \dfrac{6}{e^5}, f(−1)=−2ef(-1) = -\dfrac{2}{e} și lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
6
3 puncte
Cum ff este continuă pe R\mathbb{R} și ff este strict monotonă pe (−∞,−5)(-\infty, -5), pe (−5,−1)(-5, -1) și pe (−1,+∞)(-1, +\infty), ecuația f(x)=af(x) = a are exact trei soluții reale ⇔a∈(0,6e5)\Leftrightarrow a \in \left(0, \dfrac{6}{e^5}\right)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1ln⁡xf(x) = \dfrac{1}{\ln x}. a) Arătați că orice primitivă a funcției ff este strict crescătoare pe intervalul (1,+∞)(1, +\infty). b) Calculați ∫ee21x⋅f(x) dx\displaystyle\int_e^{e^2} \dfrac{1}{x} \cdot f(x)\, dx. c) Determinați numărul real aa, a>ea > e, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(1,+∞)→Rg : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=1f(x)g(x) = \dfrac{1}{f(x)}, axa OxOx și dreptele de ecuații x=ex = e și x=ax = a are aria egală cu 2a2a.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) FF este o primitivă a funcției f⇒F′(x)=f(x)=1ln⁡xf \Rightarrow F'(x) = f(x) = \dfrac{1}{\ln x}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
2
3 puncte
F′(x)>0F'(x) > 0, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty), deci FF este strict crescătoare pe intervalul (1,+∞)(1, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫ee21x⋅f(x) dx=∫ee21x⋅1ln⁡x dx=ln⁡(ln⁡x)∣ee2=\displaystyle\int_e^{e^2} \dfrac{1}{x} \cdot f(x)\, dx = \int_e^{e^2} \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{1}{\ln x}\, dx = \left. \ln(\ln x) \right|_e^{e^2} =
4
2 puncte
=ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2= \ln 2 - \ln 1 = \ln 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) g(x)=ln⁡x⇒A=∫ea∣g(x)∣ dx=∫ealn⁡x dx=xln⁡x∣ea−∫eax⋅1x dx=aln⁡a−ag(x) = \ln x \Rightarrow \mathcal{A} = \displaystyle\int_e^a |g(x)|\, dx = \int_e^a \ln x\, dx = \left. x \ln x \right|_e^a - \int_e^a x \cdot \dfrac{1}{x}\, dx = a \ln a - a
6
2 puncte
aln⁡a−a=2aa \ln a - a = 2a și, cum a>ea > e, obținem a=e3a = e^3

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2019 — Tehnologic

Următor →

Bac Specială 2019 — Științele Naturii (Varianta 8)

← Înapoi la arhiva completă Bac