BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2021 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați modulul numărului complex z=(2+3i)(2−3i)−(9−3i)z = (2 + 3i)(2 - 3i) - (9 - 3i).

Rezolvare

1
3 puncte
z=(2+3i)(2−3i)−(9−3i)=22−(3i)2−9+3i=4+3iz = (2 + 3i)(2 - 3i) - (9 - 3i) = 2^2 - (3i)^2 - 9 + 3i = 4 + 3i
2
2 puncte
∣z∣=42+32=5|z| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−2f(x) = x - 2 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=5x+20g(x) = 5x + 20. Calculați (g∘f)(2)(g \circ f)(2).

Rezolvare

1
2 puncte
f(2)=0f(2) = 0
2
3 puncte
(g∘f)(2)=g(f(2))=g(0)=5⋅0+20=20(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(0) = 5 \cdot 0 + 20 = 20
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x−5=1164^{x-5} = \dfrac{1}{16}.

Rezolvare

1
3 puncte
4x−5=4−2⇔x−5=−24^{x-5} = 4^{-2} \Leftrightarrow x - 5 = -2
2
2 puncte
x=3x = 3
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 88.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de trei cifre are 900900 de elemente, deci sunt 900900 de cazuri posibile
2
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 88 este {118,181,811,124,142,214,241,412,421,222}\{118, 181, 811, 124, 142, 214, 241, 412, 421, 222\}, deci sunt 1010 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=10900=190p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{10}{900} = \dfrac{1}{90}
Exercițiul 5
Se consideră paralelogramul ABCDABCD cu AB=4AB = 4, BC=6BC = 6 și măsura unghiului ABCABC de 120∘120^\circ. Determinați modulul vectorului AM→\overrightarrow{AM}, unde punctul MM este mijlocul segmentului BDBD.

Rezolvare

1
2 puncte
ABCDABCD este paralelogram, deci AM→=12AC→\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}
2
3 puncte
AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡(∡ABC)=76⇒AC=219⇒∣AM→∣=AM=19AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\measuredangle ABC) = 76 \Rightarrow AC = 2\sqrt{19} \Rightarrow |\overrightarrow{AM}| = AM = \sqrt{19}
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC cu AB=12AB = 12, AC=16AC = 16 și BC=20BC = 20. Arătați că rR=25\dfrac{r}{R} = \dfrac{2}{5}, unde rr este raza cercului înscris în triunghiul ABCABC și RR este raza cercului circumscris triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
2 puncte
BC2=AB2+AC2⇒△ABCBC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow \triangle ABC este dreptunghic în A⇒R=BC2=10A \Rightarrow R = \dfrac{BC}{2} = 10
2
3 puncte
P△ABC=48P_{\triangle ABC} = 48 și A△ABC=12⋅162=96⇒r=9624=4\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{12 \cdot 16}{2} = 96 \Rightarrow r = \dfrac{96}{24} = 4, de unde obținem rR=410=25\dfrac{r}{R} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(a1−22132a−121)A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2a - 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−2z=22x+y+3z=1(2a−1)x+2y+z=a\begin{cases} ax + y - 2z = 2 \\ 2x + y + 3z = 1 \\ (2a - 1)x + 2y + z = a \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(4))=5\det(A(4)) = 5. b) Determinați numărul real aa pentru care matricea A(a)A(a) nu este inversabilă. c) Pentru a=3a = 3, determinați soluțiile (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) ale sistemului de ecuații pentru care z02=x0+y0z_0^2 = x_0 + y_0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(4)=(41−2213721)⇒det⁡(A(4))=∣41−2213721∣A(4) = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 7 & 2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(4)) = \begin{vmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 7 & 2 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=4+21+(−8)−(−14)−2−24=5= 4 + 21 + (-8) - (-14) - 2 - 24 = 5
b)5 puncte
3
2 puncte
b) det⁡(A(a))=5a−15\det(A(a)) = 5a - 15, pentru orice număr real aa
4
3 puncte
Matricea A(a)A(a) nu este inversabilă ⇔det⁡(A(a))=0\Leftrightarrow \det(A(a)) = 0, deci a=3a = 3
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Pentru a=3a = 3 soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma (1+5α,−1−13α,α)(1 + 5\alpha, -1 - 13\alpha, \alpha), unde α∈R\alpha \in \mathbb{R}
6
2 puncte
z02=x0+y0⇔α2+8α=0⇔α=−8z_0^2 = x_0 + y_0 \Leftrightarrow \alpha^2 + 8\alpha = 0 \Leftrightarrow \alpha = -8 sau α=0\alpha = 0, deci (x0,y0,z0)=(−39,103,−8)(x_0, y_0, z_0) = (-39, 103, -8) sau (x0,y0,z0)=(1,−1,0)(x_0, y_0, z_0) = (1, -1, 0)
Exercițiul 2
Pe mulțimea G=(1,+∞)G = (1, +\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xlog⁡3yx * y = \sqrt{x^{\log_3 y}}. a) Arătați că 4∗3=24 * 3 = 2. b) Arătați că e=9e = 9 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”. c) Determinați x∈Gx \in G, știind că este egal cu simetricul lui în raport cu legea de compoziție „∗*”.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 4∗3=4log⁡33=414 * 3 = \sqrt{4^{\log_3 3}} = \sqrt{4^1}
2
2 puncte
=4=2= \sqrt{4} = 2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗9=xlog⁡39=x2=xx * 9 = \sqrt{x^{\log_3 9}} = \sqrt{x^2} = x, pentru orice x∈Gx \in G
4
3 puncte
9∗x=9log⁡3x=(3log⁡3x)2=x2=x9 * x = \sqrt{9^{\log_3 x}} = \sqrt{\left(3^{\log_3 x}\right)^2} = \sqrt{x^2} = x, pentru orice x∈Gx \in G, deci e=9e = 9 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x∗x=e⇒xlog⁡3x=9⇒xlog⁡3x=81⇒log⁡3xlog⁡3x=log⁡381x * x = e \Rightarrow \sqrt{x^{\log_3 x}} = 9 \Rightarrow x^{\log_3 x} = 81 \Rightarrow \log_3 x^{\log_3 x} = \log_3 81, deci log⁡32x=4\log_3^2 x = 4
6
2 puncte
log⁡3x=−2\log_3 x = -2 sau log⁡3x=2⇒x=19\log_3 x = 2 \Rightarrow x = \dfrac{1}{9}, care nu convine; x=9x = 9, care convine

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x2−9)(x2−4)+3f(x) = (x^2 - 9)(x^2 - 4) + 3. a) Arătați că f′(x)=2x(2x2−13)f'(x) = 2x(2x^2 - 13), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→3sin⁡(x−3)f(x)−3=130\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{\sin(x - 3)}{f(x) - 3} = \dfrac{1}{30}. c) Determinați valorile reale ale lui mm pentru care ecuația f(x)=mf(x) = m are exact patru soluții reale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=2x⋅(x2−4)+(x2−9)⋅2xf'(x) = 2x \cdot (x^2 - 4) + (x^2 - 9) \cdot 2x
2
2 puncte
=2x(x2−4+x2−9)=2x(2x2−13)= 2x(x^2 - 4 + x^2 - 9) = 2x(2x^2 - 13), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→3sin⁡(x−3)f(x)−3=lim⁡x→3sin⁡(x−3)(x2−9)(x2−4)=lim⁡x→3(sin⁡(x−3)x−3⋅1(x+3)(x2−4))\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{\sin(x - 3)}{f(x) - 3} = \lim_{x \to 3} \dfrac{\sin(x - 3)}{(x^2 - 9)(x^2 - 4)} = \lim_{x \to 3} \left(\dfrac{\sin(x - 3)}{x - 3} \cdot \dfrac{1}{(x + 3)(x^2 - 4)}\right)
4
3 puncte
=1⋅1(3+3)(32−4)=130= 1 \cdot \dfrac{1}{(3 + 3)(3^2 - 4)} = \dfrac{1}{30}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=0⇔x=−132f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -\sqrt{\dfrac{13}{2}}, x=0x = 0 sau x=132x = \sqrt{\dfrac{13}{2}}; f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(−∞,−132)∪(0,132)x \in \left(-\infty, -\sqrt{\dfrac{13}{2}}\right) \cup \left(0, \sqrt{\dfrac{13}{2}}\right) și f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−132,0)∪(132,+∞)x \in \left(-\sqrt{\dfrac{13}{2}}, 0\right) \cup \left(\sqrt{\dfrac{13}{2}}, +\infty\right)
6
2 puncte
lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, f(±132)=−134f\left(\pm\sqrt{\dfrac{13}{2}}\right) = -\dfrac{13}{4}, f(0)=39f(0) = 39, ff continuă pe R\mathbb{R}, deci ecuația f(x)=mf(x) = m are exact patru soluții reale ⇔m∈(−134,39)\Leftrightarrow m \in \left(-\dfrac{13}{4}, 39\right)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2xarctg⁡xf(x) = 2x \operatorname{arctg} x. a) Arătați că ∫12f(x)arctg⁡x dx=3\displaystyle\int_1^2 \dfrac{f(x)}{\operatorname{arctg} x}\, dx = 3. b) Determinați numărul real nenul aa pentru care ∫03f(x) dx=πa−3\displaystyle\int_0^{\sqrt{3}} f(x)\, dx = \dfrac{\pi}{a} - \sqrt{3}. c) Demonstrați că ∫−11xf(x) dx=0\displaystyle\int_{-1}^{1} x f(x)\, dx = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12f(x)arctg⁡x dx=∫122x dx=x2∣12\displaystyle\int_1^2 \dfrac{f(x)}{\operatorname{arctg} x}\, dx = \int_1^2 2x\, dx = \left. x^2 \right|_1^2
2
2 puncte
=4−1=3= 4 - 1 = 3
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫03f(x) dx=∫03(x2+1)′arctg⁡x dx=(x2+1)arctg⁡x∣03−∫03(x2+1)⋅1x2+1 dx=4⋅π3−x∣03\displaystyle\int_0^{\sqrt{3}} f(x)\, dx = \int_0^{\sqrt{3}} (x^2 + 1)' \operatorname{arctg} x\, dx = \left. (x^2 + 1) \operatorname{arctg} x \right|_0^{\sqrt{3}} - \int_0^{\sqrt{3}} (x^2 + 1) \cdot \dfrac{1}{x^2 + 1}\, dx = 4 \cdot \dfrac{\pi}{3} - \left. x \right|_0^{\sqrt{3}}
4
2 puncte
=4π3−3= \dfrac{4\pi}{3} - \sqrt{3}, de unde obținem a=34a = \dfrac{3}{4}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫−11xf(x) dx=2∫−11x2arctg⁡x dx=2∫−11(−x)2arctg⁡(−x)(−1) dx=−2∫−11x2arctg⁡x dx=−∫−11xf(x) dx\displaystyle\int_{-1}^{1} x f(x)\, dx = 2\int_{-1}^{1} x^2 \operatorname{arctg} x\, dx = 2\int_{-1}^{1} (-x)^2 \operatorname{arctg}(-x)(-1)\, dx = -2\int_{-1}^{1} x^2 \operatorname{arctg} x\, dx = -\int_{-1}^{1} x f(x)\, dx
6
2 puncte
2∫−11xf(x) dx=02\displaystyle\int_{-1}^{1} x f(x)\, dx = 0, deci ∫−11xf(x) dx=0\displaystyle\int_{-1}^{1} x f(x)\, dx = 0

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2021 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară Rezervă 2021 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac