BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2024 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 6−25+5⋅(2−5)=16 - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot \left(2 - \sqrt{5}\right) = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
6−25+5⋅(2−5)=6−25+25−5⋅56 - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot \left(2 - \sqrt{5}\right) = 6 - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}
2
3 puncte
Se obține 6−5=16 - 5 = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3. Determinați numărul real aa pentru care f(a)+f(1)=0f(a) + f(1) = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează f(a)=2a−3f(a) = 2a - 3 și f(1)=−1f(1) = -1
2
2 puncte
Se rezolvă 2a−3−1=02a - 3 - 1 = 0, de unde se obține a=2a = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 10x−1=10−2x⋅10210^{x-1} = 10^{-2x} \cdot 10^2.

Rezolvare

1
3 puncte
Se obține 10x−1=10−2x+210^{x-1} = 10^{-2x+2}, de unde x−1=−2x+2x - 1 = -2x + 2
2
2 puncte
Se obține x=1x = 1
Exercițiul 4
Determinați câte dintre numerele naturale de două cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, au ambele cifre pare.

Rezolvare

1
3 puncte
Cifra zecilor se poate alege în 33 moduri (din cifrele pare 22, 44, 66)
2
2 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 22 moduri, deci sunt 3⋅2=63 \cdot 2 = 6 numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(4,6)A(4, 6) și B(6,0)B(6, 0). Determinați distanța dintre punctele BB și MM, unde punctul MM este mijlocul segmentului OAOA.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează M(2,3)M(2, 3)
2
3 puncte
Se obține BM=(6−2)2+(0−3)2=16+9=5BM = \sqrt{(6 - 2)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AC=6AC = 6 și aria egală cu 2424. Arătați că AB=8AB = 8.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie A△ABC=AB⋅AC2\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2}, deci 24=AB⋅6224 = \frac{AB \cdot 6}{2}
2
2 puncte
Se obține AB=24⋅26=8AB = \frac{24 \cdot 2}{6} = 8

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1112)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} și B(x)=(x+1x+42x4x−3)B(x) = \begin{pmatrix} x + 1 & x + 4 \\ 2x & 4x - 3 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=1\det A = 1. b) Determinați numărul real xx pentru care det⁡(B(x)−xA)=x\det(B(x) - xA) = x. c) Determinați numărul real xx pentru care B(x)+B(x+2)=2A⋅A⋅AB(x) + B(x + 2) = 2A \cdot A \cdot A.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează det⁡A=∣1112∣=1⋅2−1⋅1\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1
2
2 puncte
Se obține det⁡A=2−1=1\det A = 2 - 1 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează B(x)−xA=(14x2x−3)B(x) - xA = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ x & 2x - 3 \end{pmatrix}, de unde det⁡(B(x)−xA)=2x−3−4x=−2x−3\det(B(x) - xA) = 2x - 3 - 4x = -2x - 3, pentru orice număr real xx
4
2 puncte
Se rezolvă −2x−3=x-2x - 3 = x, de unde se obține x=−1x = -1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează A⋅A=(2335)A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}, 2A⋅A⋅A=(10161626)2A \cdot A \cdot A = \begin{pmatrix} 10 & 16 \\ 16 & 26 \end{pmatrix} și B(x)+B(x+2)=(2x+42x+104x+48x+2)B(x) + B(x + 2) = \begin{pmatrix} 2x + 4 & 2x + 10 \\ 4x + 4 & 8x + 2 \end{pmatrix}
6
2 puncte
Se egalează (2x+42x+104x+48x+2)=(10161626)\begin{pmatrix} 2x + 4 & 2x + 10 \\ 4x + 4 & 8x + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 16 \\ 16 & 26 \end{pmatrix} și se obține x=3x = 3
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+mX2−2X−4f = X^3 + mX^2 - 2X - 4, unde mm este număr real. a) Pentru m=6m = 6, arătați că f(1)=1f(1) = 1. b) Determinați numărul real mm pentru care (x1x2x3)2=x1+x2+x3+x1x2x3(x_1 x_2 x_3)^2 = x_1 + x_2 + x_3 + x_1 x_2 x_3, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Determinați rădăcinile polinomului ff, știind că restul împărțirii lui ff la polinomul X−2X - 2 este egal cu 88.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f=X3+6X2−2X−4f = X^3 + 6X^2 - 2X - 4, deci f(1)=13+6⋅12−2⋅1−4f(1) = 1^3 + 6 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 - 4
2
2 puncte
Se obține f(1)=1+6−2−4=1f(1) = 1 + 6 - 2 - 4 = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se aplică relațiile lui Viète: x1+x2+x3=−mx_1 + x_2 + x_3 = -m și x1x2x3=4x_1 x_2 x_3 = 4
4
3 puncte
Se înlocuiește în condiția dată: 16=−m+416 = -m + 4, de unde se obține m=−12m = -12
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează f(2)=8+4m−4−4=8f(2) = 8 + 4m - 4 - 4 = 8, de unde se obține m=2m = 2
6
3 puncte
Se obține f=X3+2X2−2X−4=(X+2)(X−2)(X+2)f = X^3 + 2X^2 - 2X - 4 = (X + 2)(X - \sqrt{2})(X + \sqrt{2}), deci rădăcinile polinomului ff sunt −2-2, −2-\sqrt{2} și 2\sqrt{2}

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=3−xx2+ln⁡xf(x) = \frac{3 - x}{x^2} + \ln x. a) Arătați că f′(x)=x2+x−6x3f'(x) = \frac{x^2 + x - 6}{x^3}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Arătați că lim⁡x→+∞(f(x)−ln⁡x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(f(x) - \ln x\right) = 0. c) Arătați că 4f(x)−1≥ln⁡164f(x) - 1 \geq \ln 16, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f′(x)=−x2−2x(3−x)x4+1xf'(x) = \frac{-x^2 - 2x(3 - x)}{x^4} + \frac{1}{x}
2
2 puncte
Se obține f′(x)=x−6x3+1x=x2+x−6x3f'(x) = \frac{x - 6}{x^3} + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + x - 6}{x^3}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează lim⁡x→+∞(f(x)−ln⁡x)=lim⁡x→+∞3−xx2=lim⁡x→+∞(3x2−1x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(f(x) - \ln x\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 - x}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{3}{x^2} - \frac{1}{x}\right)
4
2 puncte
Se obține limita egală cu 00
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0, de unde x=2x = 2; pentru orice x∈(0,2]x \in (0, 2], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe (0,2](0, 2]; pentru orice x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty), f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty)
6
2 puncte
Se obține f(x)≥f(2)f(x) \geq f(2), pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty); cum f(2)=14+ln⁡2f(2) = \frac{1}{4} + \ln 2, se obține 4f(x)−1≥4ln⁡2=ln⁡164f(x) - 1 \geq 4\ln 2 = \ln 16, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→Rf : (-3, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=3x+1x+3f(x) = 3x + \frac{1}{\sqrt{x + 3}}. a) Arătați că ∫24(f(x)−1x+3)dx=18\displaystyle\int_2^4 \left(f(x) - \frac{1}{\sqrt{x + 3}}\right) dx = 18. b) Arătați că ∫16(f(x)−3x)dx=2\displaystyle\int_1^6 \left(f(x) - 3x\right) dx = 2. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫−211x+3(f(x)−1x+3)dx=9(a−2ln⁡2)\displaystyle\int_{-2}^{1} \frac{1}{x + 3} \left(f(x) - \frac{1}{\sqrt{x + 3}}\right) dx = 9(a - 2\ln 2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫24(f(x)−1x+3)dx=∫243x dx=3x22∣24\displaystyle\int_2^4 \left(f(x) - \frac{1}{\sqrt{x + 3}}\right) dx = \int_2^4 3x \, dx = \left.\frac{3x^2}{2}\right|_2^4
2
2 puncte
Se obține 482−122=18\frac{48}{2} - \frac{12}{2} = 18
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫16(f(x)−3x)dx=∫161x+3 dx=2∫16(x+3)′2x+3 dx=2x+3∣16\displaystyle\int_1^6 \left(f(x) - 3x\right) dx = \int_1^6 \frac{1}{\sqrt{x + 3}} \, dx = 2\int_1^6 \frac{(x + 3)'}{2\sqrt{x + 3}} \, dx = \left.2\sqrt{x + 3}\right|_1^6
4
2 puncte
Se obține 29−24=6−4=22\sqrt{9} - 2\sqrt{4} = 6 - 4 = 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează ∫−211x+3(f(x)−1x+3)dx=∫−21(3−9x+3)dx=3x∣−21−9ln⁡(x+3)∣−21=9(1−ln⁡4)\displaystyle\int_{-2}^{1} \frac{1}{x + 3} \left(f(x) - \frac{1}{\sqrt{x + 3}}\right) dx = \int_{-2}^{1} \left(3 - \frac{9}{x + 3}\right) dx = \left.3x\right|_{-2}^{1} - \left.9\ln(x + 3)\right|_{-2}^{1} = 9(1 - \ln 4)
6
2 puncte
Se obține 9(1−2ln⁡2)=9(a−2ln⁡2)9(1 - 2\ln 2) = 9(a - 2\ln 2), de unde a=1a = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2024 — Matematică-Informatică (Varianta 9)

Următor →

Bac Specială 2024 — Tehnologic (Varianta 9)

← Înapoi la arhiva completă Bac