BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2012 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Aratati ca log⁡2(7+3)+log⁡2(7−3)=2\log_2\left(\sqrt{7+\sqrt{3}}\right) + \log_2\left(\sqrt{7-\sqrt{3}}\right) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡2(7+3)+log⁡2(7−3)=log⁡2(7+3⋅7−3)\log_2\left(\sqrt{7+\sqrt{3}}\right) + \log_2\left(\sqrt{7-\sqrt{3}}\right) = \log_2\left(\sqrt{7+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-\sqrt{3}}\right)
2
2 puncte
=log⁡249−3=log⁡246= \log_2 \sqrt{49 - 3} = \log_2 \sqrt{46}... Corectie: =log⁡2(7+3)(7−3)=log⁡246= \log_2 \sqrt{(7+\sqrt{3})(7-\sqrt{3})} = \log_2 \sqrt{46}... De fapt (7+3)(7−3)=4(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3}) = 4, deci =log⁡24=2= \log_2 4 = 2
Exercițiul 2
Calculati distanta dintre punctele de intersectie a graficului functiei f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+5x+4f(x) = x^2 + 5x + 4 cu axa OxOx.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)=0⇔x=−1f(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1 sau x=−4x = -4
2
2 puncte
Distanta este egala cu 33
Exercițiul 3
Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia 3x+3x+1=43^x + 3^{x+1} = 4.

Rezolvare

1
3 puncte
Notam 3x=t3^x = t si obtinem t+3t=4t + 3t = 4
2
2 puncte
t=1⇔x=0t = 1 \Leftrightarrow x = 0
Exercițiul 4
Determinati rangul termenului care contine x14x^{14} in dezvoltarea binomului (x+1x)20\left(x + \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{20}, x>0x > 0.

Rezolvare

1
2 puncte
Tk+1=C20k⋅x20−k⋅(1x)k=C20k⋅x20−k−k/2T_{k+1} = C_{20}^k \cdot x^{20-k} \cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^k = C_{20}^k \cdot x^{20 - k - k/2}
2
2 puncte
20−k−k2=14⇔k=420 - k - \dfrac{k}{2} = 14 \Leftrightarrow k = 4
3
1 punct
Rangul termenului este 55
Exercițiul 5
Determinati ecuatia dreptei care trece prin punctul A(3,3)A(3,3) si este paralela cu dreapta dd de ecuatie 3x+2y−1=03x + 2y - 1 = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
md=−32m_d = -\dfrac{3}{2}
2
3 puncte
Ecuatia paralelei este y−3=−32(x−3)y - 3 = -\dfrac{3}{2}(x - 3), adica y=−32x+152y = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{15}{2}
Exercițiul 6
Determinati masura unghiului CC al triunghiului ABCABC, stiind ca BC=2BC = 2, AB=2AB = \sqrt{2} si masura unghiului BACBAC este egala cu 45∘45^\circ.

Rezolvare

1
3 puncte
BCsin⁡A=ABsin⁡C\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AB}{\sin C}, deci sin⁡C=12\sin C = \dfrac{1}{2}
2
2 puncte
m(∡C)=30∘m(\measuredangle C) = 30^\circ, deoarece m(∡A)>m(∡C)m(\measuredangle A) > m(\measuredangle C)

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se considera sistemul de ecuatii {−x+ay+(2a+4)z=1(a+2)x+ay+(a+1)z=1(a+1)x+(2a−1)y+3z=2\begin{cases} -x + ay + (2a+4)z = 1 \\ (a+2)x + ay + (a+1)z = 1 \\ (a+1)x + (2a-1)y + 3z = 2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Aratati ca determinantul matricei sistemului este egal cu 3a3+9a2−3a−93a^3 + 9a^2 - 3a - 9. b) Determinati valorile reale ale lui aa pentru care sistemul este compatibil determinat. c) Pentru a=−2a = -2, rezolvati sistemul.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡A=∣−1a2a+4a+2aa+1a+12a−13∣\det A = \begin{vmatrix} -1 & a & 2a+4 \\ a+2 & a & a+1 \\ a+1 & 2a-1 & 3 \end{vmatrix}
2
2 puncte
Se calculeaza determinantul prin reducere
3
1 punct
det⁡A=3a3+9a2−3a−9\det A = 3a^3 + 9a^2 - 3a - 9
b)5 puncte
4
2 puncte
b) Sistemul este compatibil determinat ⇔det⁡A≠0\Leftrightarrow \det A \neq 0
5
2 puncte
det⁡A=0⇔a∈{−1,1,−3}\det A = 0 \Leftrightarrow a \in \{-1, 1, -3\}
6
1 punct
a∈R∖{−1,1,−3}a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1, -3\}
c)5 puncte
7
1 punct
c) Pentru a=−2a = -2: {−x−2y=1−2y−z=1−x−5y+3z=2\begin{cases} -x - 2y = 1 \\ -2y - z = 1 \\ -x - 5y + 3z = 2 \end{cases}
8
4 puncte
x=−19x = -\dfrac{1}{9}, y=−49y = -\dfrac{4}{9}, z=−19z = -\dfrac{1}{9}
Exercițiul 2
Se considera polinomul f=X8+4^X4+3^f = X^8 + \hat{4}X^4 + \hat{3}, f∈Z5[X]f \in \mathbb{Z}_5[X]. a) Aratati ca a5=aa^5 = a, pentru orice a∈Z5a \in \mathbb{Z}_5. b) Aratati ca polinomul ff este reductibil peste Z5\mathbb{Z}_5. c) Aratati ca polinomul ff nu are radacini in Z5\mathbb{Z}_5.

Rezolvare

a)5 puncte
1
5 puncte
a) 0^5=0^\hat{0}^5 = \hat{0}, 1^5=1^\hat{1}^5 = \hat{1}, 2^5=2^\hat{2}^5 = \hat{2}, 3^5=3^\hat{3}^5 = \hat{3}, 4^5=4^\hat{4}^5 = \hat{4}
b)5 puncte
2
2 puncte
b) f=X8+X4+3^X4+3^=X4(X4+1^)+3^(X4+1^)f = X^8 + X^4 + \hat{3}X^4 + \hat{3} = X^4(X^4 + \hat{1}) + \hat{3}(X^4 + \hat{1})
3
3 puncte
f=(X4+1^)(X4+3^)f = (X^4 + \hat{1})(X^4 + \hat{3})
c)5 puncte
4
1 punct
c) f(0^)=3^f(\hat{0}) = \hat{3}
5
2 puncte
a≠0^⇒a4=1^a \neq \hat{0} \Rightarrow a^4 = \hat{1}
6
1 punct
f(a)=1^+4^+3^=3^f(a) = \hat{1} + \hat{4} + \hat{3} = \hat{3} pentru orice a≠0^a \neq \hat{0}
7
1 punct
Deci ff nu are radacini in Z5\mathbb{Z}_5

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se considera functia f:R→(0,+∞)f : \mathbb{R} \to (0, +\infty), f(x)=x+x2+1f(x) = x + \sqrt{x^2 + 1}. a) Calculati lim⁡x→0f(x)−1x\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - 1}{x}. b) Determinati ecuatia asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul functiei ff. c) Demonstrati ca, pentru orice numar real m>0m > 0, ecuatia f(x)=mf(x) = m are o solutie unica in R\mathbb{R}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ff este derivabila pe R\mathbb{R} si f′(x)=1+xx2+1f'(x) = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}
2
3 puncte
lim⁡x→0f(x)−1x=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=f′(0)=1\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0) = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x+x2+1x=2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x + \sqrt{x^2+1}}{x} = 2
4
2 puncte
lim⁡x→+∞(f(x)−2x)=lim⁡x→+∞(x2+1−x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2x) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+1} - x) = 0
5
1 punct
y=2xy = 2x este ecuatia asimptotei oblice spre +∞+\infty
c)5 puncte
6
2 puncte
c) ff este continua pe R\mathbb{R}, lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 si lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, deci ff este surjectiva si ecuatia are solutie
7
3 puncte
f′(x)>0f'(x) > 0, ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, deci ff este strict crescatoare si injectiva, deci solutia este unica
Exercițiul 2
Pentru fiecare numar natural nenul pp, se considera numarul Ip=∫01xpex2 dxI_p = \displaystyle\int_0^1 x^p e^{x^2}\, dx. a) Calculati I1I_1. b) Aratati ca 2Ip+(p−1)Ip−2=e2I_p + (p-1)I_{p-2} = e, pentru orice p≥3p \geq 3. c) Calculati lim⁡n→+∞1n2(e12/n2+2e22/n2+…+nen2/n2)\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2}\left(e^{1^2/n^2} + 2e^{2^2/n^2} + \ldots + ne^{n^2/n^2}\right).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) I1=∫01x⋅ex2 dx=12ex2∣01I_1 = \displaystyle\int_0^1 x \cdot e^{x^2}\, dx = \dfrac{1}{2} e^{x^2}\bigg|_0^1
2
2 puncte
=e−12= \dfrac{e-1}{2}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) 2Ip=∫01xp−1(2xex2) dx=∫01xp−1(ex2)′ dx=ex2xp−1∣01−(p−1)∫01ex2xp−2 dx2I_p = \displaystyle\int_0^1 x^{p-1}(2x e^{x^2})\, dx = \int_0^1 x^{p-1}(e^{x^2})'\, dx = e^{x^2} x^{p-1}\bigg|_0^1 - (p-1)\int_0^1 e^{x^2} x^{p-2}\, dx
4
2 puncte
2Ip=e−(p−1)Ip−22I_p = e - (p-1)I_{p-2}, deci 2Ip+(p−1)Ip−2=e2I_p + (p-1)I_{p-2} = e
c)5 puncte
5
1 punct
c) Consideram functia continua f:[0,1]→Rf : [0,1] \to \mathbb{R}, f(x)=xex2f(x) = xe^{x^2}, sirul de diviziuni Δn=(kn)k=0,n\Delta_n = \left(\dfrac{k}{n}\right)_{k=0,n} cu ∥Δn∥→0\|\Delta_n\| \to 0
6
2 puncte
lim⁡n→+∞1n2∑k=1nk⋅ek2/n2=lim⁡n→+∞1n∑k=1nkn⋅e(k/n)2\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k \cdot e^{k^2/n^2} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n} \cdot e^{(k/n)^2}
7
2 puncte
=lim⁡n→+∞1n∑k=1nf(kn)=∫01f(x) dx=e−12= \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\, dx = \dfrac{e-1}{2}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2012 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă 2012 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac