BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2013 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați rația progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} cu termeni reali, știind că b1=1b_1 = 1 și b4=27b_4 = 27.

Rezolvare

1
3 puncte
Din b4=b1⋅q3b_4 = b_1 \cdot q^3, se obține q3=27q^3 = 27.
2
2 puncte
Deci q=3q = 3.
Exercițiul 2
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează xV=3x_V = 3.
2
3 puncte
Se calculează yV=−1y_V = -1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+2=91−x3^{x+2} = 9^{1-x}.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie 3x+2=32(1−x)3^{x+2} = 3^{2(1-x)}, deci x+2=2−2xx + 2 = 2 - 2x.
2
2 puncte
Se obține x=0x = 0.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie pătrat perfect.

Rezolvare

1
2 puncte
Numerele de două cifre, pătrate perfecte, sunt 1616, 2525, 3636, 4949, 6464 și 8181, deci sunt 66 cazuri favorabile.
2
1 punct
Numărul de numere naturale de două cifre este 9090, deci sunt 9090 de cazuri posibile.
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=690=115p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}.
Exercițiul 5
Se consideră punctele AA, BB și CC astfel încât AB⃗=4i⃗−3j⃗\vec{AB} = 4\vec{i} - 3\vec{j} și BC⃗=2i⃗−5j⃗\vec{BC} = 2\vec{i} - 5\vec{j}. Determinați lungimea vectorului AC⃗\vec{AC}.

Rezolvare

1
3 puncte
AC⃗=AB⃗+BC⃗=6i⃗−8j⃗\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = 6\vec{i} - 8\vec{j}.
2
2 puncte
AC=62+(−8)2=10AC = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10.
Exercițiul 6
Calculați sinusul unghiului AA al triunghiului ABCABC în care AB=4AB = 4, BC=5BC = 5 și sin⁡C=45\sin C = \frac{4}{5}.

Rezolvare

1
2 puncte
Din teorema sinusurilor, ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}.
2
3 puncte
Se obține sin⁡A=1\sin A = 1.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Pentru fiecare număr real mm se consideră matricea A(m)=(111m00m0m)A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & 0 & 0 \\ m & 0 & m \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡(A(1))\det(A(1)). b) Determinați numerele reale mm știind că A(m)⋅A(−m)=(−110111010)A(m) \cdot A(-m) = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. c) Arătați că det⁡(A(1)+A(2)+…+A(101))=−512⋅1013\det(A(1) + A(2) + \ldots + A(101)) = -51^2 \cdot 101^3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Se scrie A(1)=(111100101)A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} și se calculează det⁡(A(1))\det(A(1)).
2
3 puncte
Se dezvoltă determinantul și se obține det⁡(A(1))=−1\det(A(1)) = -1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează A(m)⋅A(−m)=(1−2m11−mmmmm−m2mm−m2)A(m) \cdot A(-m) = \begin{pmatrix} 1-2m & 1 & 1-m \\ m & m & m \\ m-m^2 & m & m-m^2 \end{pmatrix} și se egalează cu matricea dată.
4
2 puncte
Se obține m=1m = 1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează A(1)+A(2)+…+A(101)=(101101101101⋅5100101⋅510101⋅51)A(1) + A(2) + \ldots + A(101) = \begin{pmatrix} 101 & 101 & 101 \\ 101 \cdot 51 & 0 & 0 \\ 101 \cdot 51 & 0 & 101 \cdot 51 \end{pmatrix}.
6
2 puncte
Se calculează determinantul și se obține −512⋅1013-51^2 \cdot 101^3.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=xy−4x−4y+20x \circ y = xy - 4x - 4y + 20. a) Calculați 3∘43 \circ 4. b) Arătați că x∘y=(x−4)(y−4)+4x \circ y = (x - 4)(y - 4) + 4, pentru orice numere reale xx și yy. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x∘…∘x⏟x de 2013 ori=5\underbrace{x \circ x \circ \ldots \circ x}_{x \text{ de 2013 ori}} = 5.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 3∘4=3⋅4−4⋅3−4⋅4+203 \circ 4 = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 3 - 4 \cdot 4 + 20.
2
2 puncte
Se obține 3∘4=43 \circ 4 = 4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se scrie x∘y=x(y−4)−4(y−4)+4x \circ y = x(y - 4) - 4(y - 4) + 4.
4
2 puncte
Se obține x∘y=(x−4)(y−4)+4x \circ y = (x - 4)(y - 4) + 4, pentru orice numere reale xx și yy.
c)5 puncte
5
1 punct
c) Se observă că x∘x=(x−4)2+4x \circ x = (x - 4)^2 + 4.
6
2 puncte
x∘x∘…∘x⏟x de 2013 ori=(x−4)2013+4\underbrace{x \circ x \circ \ldots \circ x}_{x \text{ de 2013 ori}} = (x - 4)^{2013} + 4.
7
2 puncte
(x−4)2013+4=5(x - 4)^{2013} + 4 = 5, deci x=5x = 5.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=exx+exf(x) = \frac{e^x}{x + e^x}. a) Arătați că f′(x)=(x−1)ex(x+ex)2f'(x) = \frac{(x-1)e^x}{(x + e^x)^2}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(x)≥ee+1f(x) \geq \frac{e}{e+1}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se derivează: f′(x)=ex(x+ex)−ex(1+ex)(x+ex)2f'(x) = \frac{e^x(x + e^x) - e^x(1 + e^x)}{(x + e^x)^2}.
2
2 puncte
Se simplifică și se obține f′(x)=(x−1)ex(x+ex)2f'(x) = \frac{(x-1)e^x}{(x + e^x)^2}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞exx+ex=1\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x + e^x} = 1.
4
2 puncte
Ecuația asimptotei spre +∞+\infty la graficul funcției ff este y=1y = 1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(1)=0f'(1) = 0; f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru x∈(0,1]x \in (0, 1] și f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty).
6
2 puncte
f(x)≥f(1)=ee+1f(x) \geq f(1) = \frac{e}{e+1}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nn se consideră numărul In=∫01xe−nx2dxI_n = \int_0^1 x e^{-nx^2} dx. a) Calculați I0I_0. b) Arătați că In+1≤InI_{n+1} \leq I_n, pentru orice număr natural nn. c) Demonstrați că In=12n(1−1en)I_n = \frac{1}{2n}\left(1 - \frac{1}{e^n}\right), pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) I0=∫01x dx=x22∣01I_0 = \int_0^1 x\,dx = \frac{x^2}{2}\Big|_0^1.
2
2 puncte
Se obține I0=12I_0 = \frac{1}{2}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) In+1−In=∫01xe−nx2(e−x2−1) dxI_{n+1} - I_n = \int_0^1 x e^{-nx^2}(e^{-x^2} - 1)\,dx.
4
3 puncte
Pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N} și x∈[0,1]x \in [0, 1], avem e−nx2>0e^{-nx^2} > 0 și e−x2−1≤0e^{-x^2} - 1 \leq 0, deci In+1≤InI_{n+1} \leq I_n.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, In=∫01xe−nx2 dx=−12n∫01(e−nx2)′ dxI_n = \int_0^1 x e^{-nx^2}\,dx = -\frac{1}{2n}\int_0^1 (e^{-nx^2})'\,dx.
6
2 puncte
=−12ne−nx2∣01=12n(1−1en)= -\frac{1}{2n} e^{-nx^2}\Big|_0^1 = \frac{1}{2n}\left(1 - \frac{1}{e^n}\right).

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2013 — Tehnologic

Următor →

Bac Toamnă 2013 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac