BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2013 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 3(4−3)+33=123(4 - \sqrt{3}) + 3\sqrt{3} = 12.

Rezolvare

1
2 puncte
3(4−3)=12−333(4 - \sqrt{3}) = 12 - 3\sqrt{3}
2
3 puncte
12−33+33=1212 - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 12
Exercițiul 2
Calculați f(−4)+f(4)f(-4) + f(4) pentru funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−16f(x) = x^2 - 16.

Rezolvare

1
2 puncte
f(−4)=16−16=0f(-4) = 16 - 16 = 0
2
3 puncte
f(4)=16−16=0f(4) = 16 - 16 = 0, deci f(−4)+f(4)=0f(-4) + f(4) = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (x−2)2−x2+8=0(x - 2)^2 - x^2 + 8 = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
(x−2)2=x2−4x+4(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
2
3 puncte
x2−4x+4−x2+8=0⇒x=3x^2 - 4x + 4 - x^2 + 8 = 0 \Rightarrow x = 3
Exercițiul 4
Prețul unui obiect este 100100 de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu 30%30\%.

Rezolvare

1
2 puncte
30100⋅100=30\dfrac{30}{100} \cdot 100 = 30
2
3 puncte
Prețul după ieftinire este 100−30=70100 - 30 = 70 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,4)A(2, 4) și B(2,1)B(2, 1). Calculați distanța de la punctul AA la punctul BB.

Rezolvare

1
3 puncte
AB=(2−2)2+(1−4)2AB = \sqrt{(2-2)^2 + (1-4)^2}
2
2 puncte
AB=3AB = 3
Exercițiul 6
Calculați cos⁡A\cos A, știind că sin⁡A=12\sin A = \dfrac{1}{2} și unghiul AA este ascuțit.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡2A+cos⁡2A=1⇒cos⁡2A=34\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \Rightarrow \cos^2 A = \dfrac{3}{4}
2
2 puncte
cos⁡A=32\cos A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(2−202)A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(b10b)B = \begin{pmatrix} b & 1 \\ 0 & b \end{pmatrix}, unde bb este număr real. a) Calculați det⁡A\det A. b) Determinați numărul real bb pentru care A⋅B=2I2A \cdot B = 2I_2. c) Determinați numărul real bb pentru care det⁡(A+B)=0\det(A + B) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣2−202∣=4−0\det A = \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 0
2
2 puncte
det⁡A=4\det A = 4
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A⋅B=(2b2−2b02b)A \cdot B = \begin{pmatrix} 2b & 2 - 2b \\ 0 & 2b \end{pmatrix}
4
2 puncte
A⋅B=2I2⇔b=1A \cdot B = 2I_2 \Leftrightarrow b = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A+B=(2+b−102+b)⇒det⁡(A+B)=(2+b)2A + B = \begin{pmatrix} 2+b & -1 \\ 0 & 2+b \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A+B) = (2+b)^2
6
2 puncte
(2+b)2=0⇔b=−2(2+b)^2 = 0 \Leftrightarrow b = -2
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−3X2+2Xf = X^3 - 3X^2 + 2X. a) Calculați f(1)f(1). b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la X−2X - 2. c) Calculați x12+x22+x32x_1^2 + x_2^2 + x_3^2, unde x1x_1, x2x_2, x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(1)=13−3⋅12+2⋅1f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1
2
3 puncte
=1−3+2=0= 1 - 3 + 2 = 0
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Câtul este X2−XX^2 - X
4
3 puncte
Restul este 00
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x1+x2+x3=3x_1 + x_2 + x_3 = 3, x1x2+x2x3+x3x1=2x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = 2
6
3 puncte
x12+x22+x32=32−2⋅2=5x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 3^2 - 2 \cdot 2 = 5

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x+2)3f(x) = (x+2)^3. a) Verificați dacă f′(x)=3x2+12x+12f'(x) = 3x^2 + 12x + 12, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că funcția ff este crescătoare pe R\mathbb{R}. c) Calculați lim⁡x→+∞f′(x)x2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f'(x)}{x^2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x3+6x2+12x+8)′=f'(x) = (x^3 + 6x^2 + 12x + 8)' =
2
3 puncte
=3x2+12x+12= 3x^2 + 12x + 12, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=3(x+2)2f'(x) = 3(x+2)^2, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
4
3 puncte
f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci ff este crescătoare pe R\mathbb{R}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) lim⁡x→+∞3x2+12x+12x2=lim⁡x→+∞x2(3+12x+12x2)x2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + 12x + 12}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2\left(3 + \dfrac{12}{x} + \dfrac{12}{x^2}\right)}{x^2}
6
2 puncte
=3= 3
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1. a) Verificați dacă funcția F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=x33+xF(x) = \dfrac{x^3}{3} + x este o primitivă a funcției ff. b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuație x=0x = 0 și x=1x = 1. c) Arătați că ∫12f(x)x dx=32+ln⁡2\displaystyle\int_1^2 \dfrac{f(x)}{x}\, dx = \dfrac{3}{2} + \ln 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) F′(x)=(x33+x)′=x2+1F'(x) = \left(\dfrac{x^3}{3} + x\right)' = x^2 + 1
2
2 puncte
F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), oricare ar fi x∈Rx \in \mathbb{R}, deci FF este o primitivă a funcției ff
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A=∫01(x2+1) dx=(x33+x)∣01\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 (x^2 + 1)\, dx = \left(\dfrac{x^3}{3} + x\right)\bigg|_0^1
4
2 puncte
=13+1=43= \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{4}{3}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) ∫12x2+1x dx=∫12(x+1x)dx\displaystyle\int_1^2 \dfrac{x^2 + 1}{x}\, dx = \int_1^2 \left(x + \dfrac{1}{x}\right) dx
6
3 puncte
=(x22+ln⁡x)∣12=32+ln⁡2= \left(\dfrac{x^2}{2} + \ln x\right)\bigg|_1^2 = \dfrac{3}{2} + \ln 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2013 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă Rezervă 2013 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac