BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2014 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numărul real xx pentru care numerele 22, x+2x + 2 și 1010 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Rezolvare

1
3 puncte
x+2=2+102x + 2 = \dfrac{2 + 10}{2}
2
2 puncte
x=4x = 4
Exercițiul 2
Determinați valoarea minimă a funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x−10f(x) = x^2 - 2x - 10.

Rezolvare

1
2 puncte
Δ=4+40=44\Delta = 4 + 40 = 44
2
3 puncte
Valoarea minimă a funcției ff este egală cu −Δ4a=−11-\dfrac{\Delta}{4a} = -11
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2−2x)=3\log_2(x^2 - 2x) = 3.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−2x−8=0x^2 - 2x - 8 = 0
2
2 puncte
x1=−2x_1 = -2 și x2=4x_2 = 4, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie par.

Rezolvare

1
3 puncte
Sunt 4545 de numere pare de două cifre (cazuri favorabile) și 9090 de numere de două cifre (cazuri posibile)
2
2 puncte
p=4590=12p = \dfrac{45}{90} = \dfrac{1}{2}
Exercițiul 5
Determinați numărul real aa pentru care vectorii u⃗=(a−2)i⃗−2j⃗\vec{u} = (a - 2)\vec{i} - 2\vec{j} și v⃗=3i⃗+2j⃗\vec{v} = 3\vec{i} + 2\vec{j} sunt opuși.

Rezolvare

1
3 puncte
u⃗=−v⃗⇔a−2=−3\vec{u} = -\vec{v} \Leftrightarrow a - 2 = -3
2
2 puncte
a=−1a = -1
Exercițiul 6
Calculați cosinusul unghiului AA al triunghiului ABCABC în care AB=4AB = 4, AC=5AC = 5 și BC=6BC = 6.

Rezolvare

1
3 puncte
cos⁡A=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅AC=16+25−362⋅4⋅5\cos A = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \dfrac{16 + 25 - 36}{2 \cdot 4 \cdot 5}
2
2 puncte
cos⁡A=18\cos A = \dfrac{1}{8}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(010101010)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} și B=(001010100)B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡B\det B. b) Arătați că AB=BAAB = BA. c) Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(B+xA)=1\det(B + xA) = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡B=∣001010100∣=0+0+0−1−0−0\det B = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 0 + 0 - 1 - 0 - 0
2
2 puncte
det⁡B=−1\det B = -1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) AB=(010101010)AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
4
3 puncte
BA=(010101010)⇒AB=BABA = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow AB = BA
c)5 puncte
5
3 puncte
c) det⁡(B+xA)=∣0x1x1x1x0∣=2x2−1\det(B + xA) = \begin{vmatrix} 0 & x & 1 \\ x & 1 & x \\ 1 & x & 0 \end{vmatrix} = 2x^2 - 1
6
2 puncte
2x2−1=1⇔x1=−12x^2 - 1 = 1 \Leftrightarrow x_1 = -1 și x2=1x_2 = 1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y−5)x * y = xy - 4(x + y - 5). a) Calculați 4∗54 * 5. b) Arătați că x∗y=(x−4)(y−4)+4x * y = (x - 4)(y - 4) + 4 pentru orice numere reale xx și yy. c) Calculați 1∗2∗3∗⋯∗20141 * 2 * 3 * \cdots * 2014.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 4∗5=4⋅5−4(4+5−5)4 * 5 = 4 \cdot 5 - 4(4 + 5 - 5)
2
2 puncte
=20−16=4= 20 - 16 = 4
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗y=xy−4x−4y+16+4x * y = xy - 4x - 4y + 16 + 4
4
3 puncte
=x(y−4)−4(y−4)+4=(x−4)(y−4)+4= x(y - 4) - 4(y - 4) + 4 = (x - 4)(y - 4) + 4 pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∗4=4∗x=4x * 4 = 4 * x = 4 pentru orice număr real xx
6
3 puncte
1∗2∗3∗⋯∗2014=(1∗2∗3)∗(4∗5∗⋯∗2014)=4∗(5∗⋯∗2014)=41 * 2 * 3 * \cdots * 2014 = (1 * 2 * 3) * (4 * 5 * \cdots * 2014) = 4 * (5 * \cdots * 2014) = 4

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3x2+3f(x) = \dfrac{x^2 - 3}{x^2 + 3}. a) Calculați lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x). b) Arătați că f′(x)=12x(x2+3)2f'(x) = \dfrac{12x}{(x^2 + 3)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. c) Arătați că funcția ff este convexă pe intervalul (−1,1)(-1, 1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2−3x2+3\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - 3}{x^2 + 3}
2
3 puncte
=1= 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=(x2−3)′⋅(x2+3)−(x2−3)⋅(x2+3)′(x2+3)2f'(x) = \dfrac{(x^2 - 3)' \cdot (x^2 + 3) - (x^2 - 3) \cdot (x^2 + 3)'}{(x^2 + 3)^2}
4
3 puncte
=2x(x2+3)−2x(x2−3)(x2+3)2=12x(x2+3)2= \dfrac{2x(x^2 + 3) - 2x(x^2 - 3)}{(x^2 + 3)^2} = \dfrac{12x}{(x^2 + 3)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′′(x)=36(1−x2)(x2+3)3f''(x) = \dfrac{36(1 - x^2)}{(x^2 + 3)^3}, x∈Rx \in \mathbb{R}
6
2 puncte
f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru orice x∈(−1,1)x \in (-1, 1), deci ff este convexă pe intervalul (−1,1)(-1, 1)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x. a) Arătați că ∫1ef(x)⋅f′(x) dx=12\displaystyle\int_1^e f(x) \cdot f'(x)\, dx = \dfrac{1}{2}. b) Arătați că ∫1ex3f(x) dx=3e4+116\displaystyle\int_1^e x^3 f(x)\, dx = \dfrac{3e^4 + 1}{16}. c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=ex = e.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫1ef(x)⋅f′(x) dx=12f2(x)∣1e\displaystyle\int_1^e f(x) \cdot f'(x)\, dx = \dfrac{1}{2} f^2(x)\bigg|_1^e
2
2 puncte
=12(f2(e)−f2(1))=12(1−0)=12= \dfrac{1}{2}(f^2(e) - f^2(1)) = \dfrac{1}{2}(1 - 0) = \dfrac{1}{2}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) ∫1ex3ln⁡x dx=∫1e(x44)′ln⁡x dx=x44ln⁡x∣1e−∫1ex44⋅1x dx\displaystyle\int_1^e x^3 \ln x\, dx = \int_1^e \left(\dfrac{x^4}{4}\right)' \ln x\, dx = \dfrac{x^4}{4} \ln x\bigg|_1^e - \int_1^e \dfrac{x^4}{4} \cdot \dfrac{1}{x}\, dx
4
3 puncte
=e44−x416∣1e=e44−e4−116=3e4+116= \dfrac{e^4}{4} - \dfrac{x^4}{16}\bigg|_1^e = \dfrac{e^4}{4} - \dfrac{e^4 - 1}{16} = \dfrac{3e^4 + 1}{16}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A=∫1e∣f(x)∣ dx=∫1eln⁡x dx=(xln⁡x−x)∣1e\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^e |f(x)|\, dx = \int_1^e \ln x\, dx = (x \ln x - x)\bigg|_1^e
6
2 puncte
=(eln⁡e−e)−(ln⁡1−1)=1= (e \ln e - e) - (\ln 1 - 1) = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2014 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2014 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac